Tesi Specializzazion.. - Ingegneria Strutturale - Politecnico di Milano

Formulazione dell’elemento finito tridimensionale Cap. 2
Si è visto che se l’elemento non è distorto il determinante di J è effettivamente una costante (2.15) e
vale un ottavo del volume, per cui l’integrazione risulta esatta. Se l’elemento è distorto la funzione da
integrare non è più un polinomio, per cui è possibile solo approssimare il valore dell’integrale. Per la
1 1 1
formula di integrazione di Gauss-Legendre 2x2x2 i punti hanno coordinate ± ; ± ; ± e pesi
3 3 3
pari ad 1.
Le forze nodali equivalenti alle forze di volume (peso oppure inerzia) si integrano allo stesso modo
partendo dall’equazione (1.19):
F
e
n n n
T
∫ N ⋅ F ⋅ dV =
Ve
i= 1 j= 1 k=
1
= ∑∑∑
T
[ N ⋅ F ⋅ J )] ⋅Wi
⋅W
j
⋅Wk
det( (2.24)
ijk
2. La rigidezza dell’elemento compatibile
L’elemento così formulato risulta compatibile e conforme. La matrice B contiene infatti delle
derivate di ordine massimo pari a 1 (m=1), la completezza è garantita dal fatto che il polinomio
interpolante è completo sino al grado 1, la conformità perché il polinomio interpolante risulta C ∞
all’interno dell’elemento e C 0 sulla sua frontiera. E’ possibile quindi interpolare correttamente campi
di variazione lineare di spostamento senza alcun riguardo alla forma dell’elemento. Non è così se lo
spostamento da interpolare risulta quadratico (stato deformativi flessionale). Si riportano i risultati di
un Pacth Test [L1] eseguito sul corrispondente elemento bidimensionale (Isop4).
4
y
3
1
x
2
2
2a
Figura 2.2: Elemento Isop4.
Imponendo il campo di spostamento quadratico:
26