Tesi Specializzazion.. - Ingegneria Strutturale - Politecnico di Milano

Introduzione al metodo degli Elementi Finiti Cap. 1
L’elemento possiede in generale un tratto di superficie S s,e in cui sono applicate le condizioni al
contorno essenziali, un tratto S f,e in cui sono applicate le condizioni al contorno naturali, ed un tratto
S i,e in comune con gli altri elementi (superficie d’interfaccia).
Il funzionale energia potenziale elastica per l’elemento ‘e’ si scrive:
Π
p
∫
∫
∫
( s)
= ε ⋅σ
dV − s ⋅ F dV − s ⋅ f dS − s ⋅ f dS − s ⋅t
dS
(1.6)
Ve
T
Ve
T
Sf , e
T
∫
Ss,
e
T
∫
Si,
e
T
Dove t sono le tensioni interelementari, f le reazioni vincolari, f le forze di superficie, F le forze di
volume. Nella classe delle soluzioni congruenti, il funzionale Π p (s) è stazionario in corrispondenza di
una soluzione equilibrata. La stazionarietà viene imposta imponendo che sia nulla la variazione delle
funzionale per una variazione congruente δs:
∫
Ve
T
∫
∫
δ ε ⋅σ
dV = δ s ⋅ F dV + δ s ⋅ f dS + δ s ⋅ f dS + δ s ⋅ t dS
(1.7)
Ve
T
Sf , e
T
∫
Ss,
e
T
∫
Si,
e
T
Dovendo la variazione verificare la congruenza, δ s = 0 sul contorno dove si impongono le condizioni
essenziali (S s ,e) per cui il terzo integrale a secondo membro della (1.7) deve essere nullo. La
continuità del campo di spostamenti richiede inoltre che non vi siano lacerazioni e compenetrazioni
tra gli elementi (δs e s sono gli stessi sulla superficie d’interfaccia per elementi adiacenti).
Sommando sui vari elementi:
∑ ∫
e
Ve
T
∑ ∫
∑ ∫
δ ε ⋅σ
dV = δ s ⋅ F dV + δ s ⋅ f dS + δ s ⋅t
dS
(1.8)
e
Ve
T
e
Sf , e
T
∑ ∫
e
Si,
e
T
ma dato che le forze interelementari tra un elemento ed il suo adiacente sono uguali in modulo ed
opposte in segno per il principio di azione e reazione, e che gli spostamenti dell’interfaccia devono
essere continui, la somma del lavoro delle forze interelementari risulta nullo.
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