Tesi Specializzazion.. - Ingegneria Strutturale - Politecnico di Milano

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Introduzione al metodo degli Elementi Finiti Cap. 1 Come esempio si esamini il problema di un’asta tesa. F l Figura 1.2: Asta tesa. 2 d u L’equazione che governa il fenomeno è EA = p . Le condizioni al contorno si pongono in x = 0, 2 dx ed un x = l, essendo il contorno dell’asta rappresentato da soli questi due punti. In x = 0 si dovranno porre delle condizioni al contorno di tipo essenziale: u = 0 Condizioni di Dirichlet x=0 In x = l si dovranno porre delle condizioni al contorno di tipo naturale: du EA dx x= l = F Condizioni di Neumann Problemi in cui tutto il contorno è vincolato ad assumere valori essenziali o naturali sono definiti problemi dei valori al contorno. A seconda del tipo di equazione e delle condizioni al contorno, il problema può non avere soluzione, avere una soluzione, più soluzioni, infinite soluzioni. Per i problemi non stazionari si deve imporre anche una condizione ai valori iniziali sulla funzione incognita, si avranno quindi condizioni miste, sia al contorno che iniziali. Poiché le equazioni non stazionarie, ammettono soluzioni che evolvono nel tempo ed il loro comportamento ad un certo istante è determinato da quello relativo agli istanti precedenti, un problema dei valori al contorno che prescrive arbitrariamente la soluzione in più istanti separati non è fisicamente ammissibile. 4
Introduzione al metodo degli Elementi Finiti Cap. 1 Sia L() un operatore differenziale, limitandoci ad una generica equazioni di second’ordine lineare con due variabili indipendenti, si può porre: 2 2 2 ∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ ∂Φ ∂Φ L ( Φ) = a ⋅ + b ⋅ + c ⋅ + d ⋅ + e ⋅ + f ⋅ Φ = g (1.1) 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y una classificazione matematica delle EDP si effettua sul segno del discriminante ∆ = b 2 – 4ac, si ha infatti: se ∆ < 0 se ∆ = 0 se ∆ > 0 l’equazione si dice ellittica l’equazione si dice parabolica l’equazione si dice iperbolica 2 2 ∂ ∂ I problemi stazionari sono retti da equazioni di tipo ellittico, L() = + ; esempio di un 2 2 ∂x ∂y problema parabolico è l’equazione del calore in un transitorio termico (con derivata prima 2 ∂ ∂ temporale), L() = −k ⋅ + ; esempio di un problema iperbolico è la propagazione di onde lungo 2 ∂x ∂t 2 2 2 ∂ ∂ una barra L() = −c ⋅ + . Si dimostra (eseguendo dei cambi di variabile) che un’equazione 2 2 ∂x ∂t iperbolica possiede due famiglie di linee caratteristiche (linee sulle quali si propaga un’eventuale discontinuità della soluzione), un’equazione parabolica ha solo una famiglia di linee caratteristiche, un’equazione ellittica non ha linee caratteristiche. Non avendo linee caratteristiche, i problemi associati ad un operatore ellittico (esempio asta in trazione, membrana…) non possono avere soluzioni discontinue. 5
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