Tesi Specializzazion.. - Ingegneria Strutturale - Politecnico di Milano

Introduzione al metodo degli Elementi Finiti Cap. 1
Mostriamo ora per il caso di una mensola su di un terreno elastico che la formulazione debole
equivale alla formulazione forte. L’equazione differenziale della trave è data da:
EJw
IV
− p + k
f
w = 0
dove con w si è indicato lo spostamento trasversale della trave, con p un carico distribuito e con K f la
costante di sottofondo. Le condizioni essenziali si impongono su w e w I al contorno vincolato
cinematicamente. L’energia potenziale è somma dell’energia di deformazione elastica della trave e
delle molle che schematizzano il terreno meno il lavoro dei carichi esterni:
Π(
w)
=
l
∫
EJ
2
k
w
l 2 l
II 2
f
( w ) dx + ∫ dx − ∫ pwdx
2
0 0
0
Per minimizzare il funzionale si impone che la variazione prima sia nulla:
l
II II
( EJw δw
+ k wδw
− p )
δ Π( w)
= ∫ f
δw dx = 0
0
Si integra ora per parti l’energia flessionale, tenendo presente che δw II = δ(δw I ) I
l
II II
II I
l
∫ EJw δ w dx = EJw δw
−
0 ∫
0
l
0
EJw
III
δw
I
dx
e si integra ancora per parti l’ultimo termine della
l
III I
III
l
∫ EJw δ w dx = EJw δw
−
0 ∫
0
l
0
EJw
IV
δwdx
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