Tesi Specializzazion.. - Ingegneria Strutturale - Politecnico di Milano

Formulazione dell’elemento finito tridimensionale Cap. 2
Sviluppando le parentesi è possibile identificare due termini, il primo è una una matrice di rigidezza
33x33, che rappresenta l’aumento di rigidezza dell’elemento finito dovuto alla barra embedded:
K
b
T T
( N − N ) ⋅T
⋅T
⋅ ( N − N )
A ⋅ Ec
= ⋅
(2.45)
A B
A B
L
da notare che il prodotto delle due matrici T risulta pari alla matrice (2.36) utilizzata per i vincoli
elastici:
~
T = T
T
⋅T
2
⎡ cos ( θ
x
)
⎢
= ⎢cos(
θ
y
)cos( θ
x
)
⎢
⎣
cos( θ
z
)cos( θ
x
)
cos( θ )cos( θ )
x
2
cos ( θ )
cos( θ )cos( θ )
z
y
y
y
cos( θ ⎤
x
)cos( θ
z
)
⎥
cos( θ
y
)cos( θ
z
) ⎥
2
cos ( θ ) ⎥
z ⎦
(2.46)
Il secondo termine che deriva dalla (2.44) è il vettore delle forze nodali equivalenti alla
precompressione:
F
p
c
T T
( N − N ) ⋅T
⋅ε
bi
= A⋅
E ⋅
(2.47)
A
B
T T
T T
Si nota che i prodotti matriciali ( N − N ) ⋅T
⋅T
⋅ ( N − N ) e ( N N ) ⋅T
⋅ε
bi
A
B
A
B
A
− forniscono
delle costanti, perciò non è necessaria la loro valutazione ad ogni passo di carico in caso di
comportamento non lineare del materiale.
La difficoltà è ora nel valutare le matrici delle funzioni di forma nei punti A e B, in coordinate
naturali. I punti A e B sono noti infatti in coordinate cartesiane, e la trasformazione che porta le
coordinate nel sistema naturale è nota solamente se l’esaedro non è distorto:
B
ξ = ( x − xc ) / a η = ( y − yc ) / b ρ = ( z − zc ) / c
(2.48)
dove il punto c è il baricentro dell’elemento, ed a, b, c sono i suoi semilati. In caso contrario è
necessario il calcolo delle coordinate nel sistema naturale tramite iterazione.
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