Tesi Specializzazion.. - Ingegneria Strutturale - Politecnico di Milano

Formulazione dell’elemento finito tridimensionale Cap. 2
E(1
−υ)
A =
(1 + υ)(1
− 2υ
)
υ
B =
( 1−υ)
1−
2υ
C =
(2.18)
2(1 −υ)
La matrice (2.17) e le costanti (2.18) sono valide in caso di elasticità lineare e di materiali isotropo (2
costanti elastiche, E e ν). Se il materiale non fosse lineare, sarebbe necessario l’introduzione di una
legge costitutiva che modelli le rigidezze del materiale a seconda dello stato di sforzo. Se il materiale
fosse non isotropo, la matrice D conterrebbe più costanti elastiche e sarebbe scritta secondo un ben
preciso sistema di assi di riferimento locale, si renderebbe quindi necessaria una rotazione degli assi
dal sistema locale al sistema globale.
La matrice B contiene però delle funzioni di ξ, η, ρ, per cui l’integrale va fatto con le coordinate del
dominio normalizzato che rappresentano, come già detto, un sistema di coordinate curvilineo per
l’elemento reale. L’elemento di volume infinitesimo può essere definito come:
dV
= ( dξ
∧ dη)
⋅ d ρ
(2.19)
I versori del sistema di coordinate curvilinee può essere scritto riferendosi alla terna cartesiana,
tramite gli incrementi delle funzioni x, y, z nelle direzioni dei tre versori:
∂x
∂y
∂z
dξ
= dξ
⋅ i + dξ
⋅ j + dξ
⋅ k
∂ξ
∂ξ
∂ξ
∂x
∂y
∂z
dη
= dη
⋅i
+ dη
⋅ j + dη
⋅ k
∂η
∂η
∂η
(2.20)
∂x
∂y
∂z
dρ
= dρ
⋅i
+ dρ
⋅ j + dρ
⋅ k
∂ρ
∂ρ
∂ρ
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