Tesi Specializzazion.. - Ingegneria Strutturale - Politecnico di Milano

Formulazione dell’elemento finito tridimensionale Cap. 2
5. I vincoli elastici concentrati
Si introduce ora la rigidezza di una molla elastica vincolante un nodo qualsiasi. L’orientamento della
molla nello spazio è dato dai tre coseni direttori dell’asse della molla θ x , θ y , θ z . Siano q x , q y , q z gli
spostamenti di un estremo della molla, l’allungamento si può scrivere come:
∆ = q cos( θ ) + q cos( θ ) + q cos( θ )
(2.35)
x
x
y
y
z
z
L’energia di deformazione risulta:
U
=
1
2
k
[ q cos( θ ) + q cos( θ ) + q cos( θ )] 2
x
x
y
y
z
z
U
1 2
2
2 2
2
2
= k[
q
x
cos ( θ
x
) + q
y
cos ( θ
y
) + q
z
cos ( θ
z
) +
2
2q
q cos( θ )cos( θ ) + 2q
q cos( θ ) cos( θ ) + 2q
q
x
y
x
y
y
z
y
z
x
z
cos( θ ) cos( θ )]
x
z
Raccogliendo si ottiene:
U
1
=
2
[ q q q ]
x
y
z
2
⎡ cos ( θ
x
)
⎢
⋅ k⎢cos(
θ
y
)cos( θ
x
)
⎢
⎣
cos( θ
z
)cos( θ
x
)
cos( θ )cos( θ )
x
2
cos ( θ )
cos( θ )cos( θ )
z
y
y
y
cos( θ ⎤
x
)cos( θ
z
) ⎡q
⎥
cos( θ ⋅
⎢
y
)cos( θ
z
) ⎥ ⎢
q
2
cos ( θ ⎥
⎦
⎢
z
) ⎣q
x
y
z
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
(2.36)
Il termine raccolto tra i due vettori di spostamento rappresenta la matrice di rigidezza della molla, e
andrà assemblata ai termini della matrice di rigidezza totale corrispondenti ai gradi di libertà vincolati
dalla molla.
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