Tesi Specializzazion.. - Ingegneria Strutturale - Politecnico di Milano

Formulazione dell’elemento finito tridimensionale Cap. 2
⎡N1
0 0 N
2
0 0 . . . N8
0 0 ⎤
N =
⎢
⎥
⎢
0 N1
0 0 N
2
0 . . . 0 N8
0
⎥
(2.3)
⎢⎣
0 0 N
⎥
1
0 0 N
2
. . . 0 0 N8
⎦
Questa matrice, definita nello spazio normalizzato ξ, η, ρ servirà sia per interpolare gli spostamenti
che per la trasformazione isoparametrica.
s = N ⋅ q
(2.4)
X = N ⋅ Ε
(2.5)
Essendo X il vettore delle coordinate x, y, z e E quello delle coordinate ξ, η, ρ. Per le proprietà delle
funzioni di forma, si nota immediatamente che al nodo i dell’elemento parente nello spazio
normalizzato corrisponde, tramite la relazione (2.5), il nodo i dell’elemento reale. La trasformazione
sarà biunivoca se l’elemento reale non è troppo distorto, ovvero se il determinante Jacobiano della
trasformazione risulta diverso da zero. Come si sono riportati i nodi dell’elemento dallo spazio
normalizzato a quello reale, si possono riportare anche gli assi ξ, η, ρ. Si nota che le coordinate
cartesiane ξ, η, ρ dello spazio normalizzato, si trasformano in coordinate curvilinee nello spazio
reale.
Dobbiamo ora definire le deformazioni. In uno stato di sforzo 3D le deformazioni da tenere in conto
sono tutte e 6.
ε
x
∂u
=
∂x
γ
xy
∂u
∂v
= +
∂y
∂x
∂v
ε
y
=
∂y
∂v
∂w
γ
yz
= +
(2.6)
∂z
∂y
ε
z
∂w
=
∂z
γ
zx
∂w
∂u
= +
∂x
∂z
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