Tesi Specializzazion.. - Ingegneria Strutturale - Politecnico di Milano

Formulazione dell’elemento finito tridimensionale Cap. 2
La matrice di rigidezza dell’elemento finito solido in questione possiede infatti 24 x 24 = 576
elementi, contro (2 x 4) x (2 x 4) = 64 del corrispondente elemento piano (Isop4).
Ad ogni nodo le incognite sono costituite dagli spostamenti nelle tre direzioni cartesiane X, Y, Z
visibili in figura 2.1. I parametri nodali che definiscono lo spostamento in una di queste direzioni
sono in numero di 8 (uno spostamento per nodo), dato che lo spostamento in una direzione, risulta
indipendente dagli spostamenti nelle altre 2 direzioni, il polinomio interpolante deve contenere 8
termini del triangolo di Pascal. I primi 7 sono facilmente individuabili e sono 1 (il termine costante),
x, y, z, xy, yz, zx. Il settimo deve essere scelto tra i polinomi di grado cubico, dovendo rispettare la
simmetria nel triangolo di Pascal (isotropia geometrica) e dovendo contenere termini lineari nelle tre
coordinate (spostamento lungo gli spigoli lineare), il solo termine adatto è xyz.
Volendo che l’elemento sia compatibile, e volendo rappresentare geometrie anche non regolari, è
richiesta una trasformazione parametrica (figura 2.1) che trasformi l’elemento reale distorto in un
elemento parente regolare di lato 2, passando dal riferimento x, y, z a quello nelle coordinate ξ, η, ρ.
Definendo la trasformazione tramite le stesse funzioni di forma utilizzate in seguito per descrivere le
incognite nodali, la trasformazione viene detta isoparamentrica. Una volta definita la trasformazione
è possibile scrivere le funzioni di forma per l’elemento regolare nelle coordinate ξ, η, ρ.
Le funzioni di forma di questo elemento sono ricavabili tramite il procedimento algebrico
generalizzato: imposizione che nel nodo i lungo la direzione j l’incognita Φ valga Φ ij . Questo metodo
però, applicabile per l’elemento piano CST ed in genere a qualsiasi elemento, risulta molto laborioso
date le dimensioni delle matrici in causa. E’ preferibile utilizzare metodi meno meccanici e più
intuitivi. In questo caso, ricordandoci le proprietà di una funzione di forma descritte al punto 7 del
capitolo precedente, posso scrivere la funzione del nodo i come produttoria delle equazioni dei 3
piani che passano per tutti gli altri nodi (in questo modo sono sicuro che negli altri nodi la funzione di
forma è nulla) e poi imporre che sia unitaria nel nodo i. Così facendo si ricavano le 8 funzioni di
forma, che possono essere scritte in forma compatta [L1, L3, L5, L7, L8]:
N
i
1
= ⋅
i
i
1
8
( 1+
ξ ⋅ξ
) ⋅ ( 1+
η ⋅η
) ⋅ ( + ρ ⋅ ρ )
i
(2.1)
dove ξ i , η i , ρ i sono le coordinate del generico nodo i (o +1 o –1).
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