Tesi Specializzazion.. - Ingegneria Strutturale - Politecnico di Milano

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Introduzione al metodo degli Elementi Finiti Cap. 1 4. La formulazione debole per problemi stazionari La formulazione forte (formulazione differenziale) non è in genere adeguata, alla ricerca della soluzione fisica del problema per l’elevato ordine di derivazione richiesto. Come esempio si consideri l’equazione di un filo elastico. Questa ricavata considerando il carico distribuito su tutta la linea (equazione della linea funicolare), se ho un carico concentrato la soluzione fisica esiste, ma non è soluzione del modello matematico assunto (la soluzione è continua ma non derivabile con continuità). Serve una formulazione alternativa che consenta di ridurre l’ordine di derivazione richiesto alla funzione incognita. Tramite una serie di passaggi matematici (tra cui la moltiplicazione per una funzione test ed un’integrazione per parti) si passa da un problema differenziale di ordine 2m ad uno in forma integrale di ordine m. Questo problema viene definito come formulazione debole del problema differenziale. Ad esempio il problema del filo elastico in formulazione forte: 2 d Φ − = 2 dx w(0) = 0 f ( x) per Φ( l) = 1 0 < x < l viene ricondotto alla formulazione debole: cercare Φ nello spazio V tale che l l ⎡1 dv ⎤ 2 J ( Φ) = min J ( v) = min⎢ ∫ ( ) dx − ∫ v ⋅ fdx⎥ per ogni v (funzione test) appartenente allo spazio V. ⎣2 dx 0 0 ⎦ se Φ è soluzione del problema variazionale, allora la formulazione forte è equivalente alla debole. Bisogna definire ora qual è lo spazio in cui si cerca la soluzione. Dato che si deve integrare una funzione derivata m volte, si potrebbe imporre che V sia lo spazio C m (derivabile con continuità sino all’ordine m) tuttavia si è visto che la derivata di ordine m può non essere continua. Se m è l’ordine di derivazione presente nel problema variazionale, si dimostra che lo spazio V in cui cercare la soluzione è lo spazio di Sobolev H m . A differenza dello spazio C m , spazio delle funzioni continue con derivata continua sino all’ordine m, lo spazio H m contiene anche le funzioni continue ma con derivata di ordine m non continua in un numero finito di punti [L10]. 8
Introduzione al metodo degli Elementi Finiti Cap. 1 Nel caso di problemi di elasticità il funzionale da minimizzare sarà l’energia potenziale elastica, e lo spazio delle funzioni test V, racchiude tutte le funzioni di spostamento ammissibili. Si può infatti dimostrare che: tra tutti i campi di spostamento ammissibili, quello che soddisfa le condizioni di equilibrio rende l’energia potenziale del sistema stazionaria e minima. Da questo principio, discendono metodi di soluzione algebrica, per problemi di elasticità, che interpolano la funzione spostamento, da cui il nome di metodo degli spostamenti. Si possono formulare metodi basati sulla stazionarietà di altri funzionali. Se il principio di minima energia potenziale, permetteva di ottenere una formulazione variazionale che determina la rigidezza di un sistema, il principio di minima energia complementare ne determina la flessibilità. Π p = 1 2 ∫ V ε T ⋅ D ⋅ε ⋅ dV − ∫ V s T ⋅ F ⋅ dV − ∫ Γf s T ⋅ f ⋅ dΓ (EPT) (1.4) Π c = 1 2 ∫ V σ T ⋅ D −1 ⋅σ ⋅ dV − ∫ Γf f T ⋅t ⋅ dΓ (ECT) (1.5) Il principio afferma che: tra tutti gli stati tensionali che soddisfano le condizioni di equilibrio all’interno del sistema e le tensioni imposte sul contorna, lo stato di tensione che soddisfa anche la congruenza rende stazionaria e minima l’energia complementare totale. Da questo principio discende il metodo delle forze. Pensando ad una soluzione automatizzata, si fa notare che si ottiene un metodo più complesso e meno intuitivo, rispetto al metodo degli spostamenti. Infatti, anche se il calcolo delle tensioni risulta più accurato, la costruzione di un modello di forze equilibrato, è molto più complicato rispetto ad una costruzione di un modello di spostamenti compatibile. 9
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