Tesi Specializzazion.. - Ingegneria Strutturale - Politecnico di Milano

Formulazione dell’elemento finito tridimensionale Cap. 2
(di tipo flessionale), ma è nullo anche il contributo dovuto alle deformazioni normali, in quanto
l’elementino infinitesimo posto nell’origine degli assi non si deforma. L’integrazione selettiva
scavalca questo problema, valutando il contributo flessionale in altri punti.
Esaminiamo però il caso di un elemento solido esaedrico sottoposto ad integrazione selettiva. Diamo
una deformata all’elemento di tipo torsionale attorno ad uno dei tre assi. Il contributo all’energia
deformativi dovuto alla deformazione tagliante è nulla, in quanto viene calcolata nell’unico punto x =
y = z = 0. Il contributo dovuto alle deformazioni normali si calcola nei punti di gauss 2x2x2.
Supponiamo che la torsione avvenga attorno all’asse x. I piani perpendicolari all’asse x rimangono
piani a deformazione avvenuta (l’elemento non è in grado di cogliere l’ingobbimento della sua
sezione) per cui la deformazione ε x è nulla in tutti e 8 i punti di Gauss. Ma anche le deformazioni ε y e
ε z sono nulle in quanto nel piano xz la sezione ha un moto di rotazione e non si deforma.
4
z
3
x
1
2
Figura 2.4: Stato deformativo in una sezione perpendicolare all'asse di torsione.
L’energia di deformazione risulta quindi nulla. Anche se opero con l’integrazione selettiva, esistono
3 modi spuri (una torsione attorno a ciascun asse) che rendono labile il sistema.
Una prova numerica di quanto esposto è ottenibile dal caso seguente. Si vuole simulare una prova di
trazione lungo l’asse x su di un singolo elemento esaedrico regolare di lato 2 con baricentro
nell’origine degli assi, utilizzando l’integrazione selettiva. Si è scelto di porre 0 il coefficiente di
Poisson, in questo modo, vincolando tutti gli spostamenti dei quattro nodi a quota x = -1, e
sottoponendo i nodi a quota x = 1 ad una forza parallela all’asse x, l’unico spostamento che ci si
aspetta è in direzione x, peraltro facilmente calcolabile.
La simulazione numerica si blocca all’atto della risoluzione del sistema, con l’avviso: termine
pivotale nullo, sistema labile.
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