x - Recreaţii Matematice

More documents

Recommendations

Info

Aplicat¸ia 2. Fie a, b, p, q ∈ R ∗ + cu p ≥ 2q. Rezolvat¸i în mult¸imea R ∗ + inecuat¸ia (6) p(x 2 + x + 1) + 9qx2 x2 ≤ 3(p + q)x. + x + 1 Solut¸ie. Pentru n = 3, a = x 2 , b = x ¸si c = 1, relat¸ia (5) devine (7) p(x 2 + x + 1) + 9qx2 x2 ≥ 3(p + q)x. + x + 1 Deci, în relat¸iile (6) ¸si (7) vom avea egalitate. Conform Propozit¸iei 2, numerele x2 , x ¸si 1 sunt egale. În consecint¸ă, x = 1 este unica solut¸ie a inecuat¸iei (6). (8) Aplicat¸ia 3. Rezolvat¸i în R ∗ + ecuat¸ia 2009 2010x (2009 + x) + 2010 2009x + 1 = 2010 2010√ x. Solut¸ie. Luând în (2) n = 2010, x1 = x2 = . . . = x2009 = 1 ¸si x2010 = x, avem 2009 2010x (2009 + x) + 2010 2009x + 1 ≥ 2010 2010√ x. Cum (8) cere egalitate în relat¸ia precedentă, rezultă că x1 = x2 = . . . = x2010; deci, x = 1. Diofant din Alexandria (sec. III d.Hr.) Despre viat¸a lui Diofant nu se cunoa¸ste aproape nimic; nici data ¸si nici locul na¸sterii. Se consideră că a trăit, cel mai probabil, în jurul anului 250 d.Hr. S¸i-a desfă¸surat activitatea la Alexandria ¸si a scris un tratat în 13 volume, Aritmetica, care poate fi comparat ca important¸ă cu Elementele lui Euclid (tot în 13 volume). Numai ¸sase dintre aceste volume nu au fost pierdute ¸si au devenit sursă de inspirat¸ie pentru matematicienii Rena¸sterii. Pe marginea cărt¸ii a II-a a lui Diofant, matematicianul francez Pierre Fermat a notat celebra sa teoremă, Marea Teoremă a lui Fermat. Durata viet¸ii lui Diofant se poate afla rezolvând o problemă a sa, care a fost, se pare, gravată pe piatra lui funerară. Dumnezeu i-a îngăduit să fie copil o ¸sesime din viat¸a sa ¸si, adăugând la aceasta a douăsprezecea parte, i-a acoperit obrazul cu puf ginga¸s, i-a împărtă¸sit lumina sfântă a căsniciei după a ¸saptea parte a viet¸ii, iar după cinci ani de căsătorie i-a oferit un fiu. Dar vai! nefericit copilul născut târziu; după ce a atins o jumătate din întreaga viat¸ă a tatălui, copilul a fost răpit de soarta necrut¸ătoare. După ce ¸si-a alinat suferint¸a, adâncindu-se în ¸stiint¸a numerelor vreme de patru ani, ¸si-a dat sufletul. Întrebare. Cât¸i ani a trăit Diofant? N.B. Răspunsul se găse¸ste la pagina 24. 20
Inegalitatea lui Jensen pentru funct¸ii J-convexe în raport cu medii cvasiaritmetice Florin POPOVICI 1 Abstract. In this Note an elementary proof is given for Jensen ′ s inequality related to a (M, N)- J-convex function (Definition 3), in the case when M and N are quasi-arithmetic means (Definition 2). Keywords: J-convex function, quasi-arithmetic mean, (M, N)-J-convex function. MSC 2000: 52A40. Înlocuind în definit¸ia funct¸iilor J-convexe, cele două medii aritmetice cu două medii oarecare M ¸si N G. Aumann ([1], pag. 4), în anul 1933, extinde not¸iunea de funct¸ie J-convexă prin not¸iunea de funct¸ie J-convexă în raport cu perechea ordonată de medii (M, N). Inegalitatea lui Jensen, adaptată pentru funct¸iile J-convexe în raport cu perechi ordonate de medii (M, N) are loc pentru o clasă largă de medii, care include mediile cvasiaritmetice. Demonstrat¸ia de mai jos adaptează rat¸ionamentul prezentat de noi în [3]; credem că este nouă. În particular, din inegalitatea lui Jensen astfel generalizată, se obt¸in diferite inegalităt¸i clasice. Definit¸ia 1. Fie I ⊂ R un interval. Un ¸sir de funct¸ii M = (Mn)n≥2 se nume¸ste medie pe I dacă pentru orice n ∈ N, n ≥ 2, funct¸ia Mn : I n → I satisface condit¸ia (1) min{xi|i = 1, n} ≤ Mn(x1, . . . , xn) ≤ max{xi|i = 1, n}, ∀xi ∈ (0, ∞), i = 1, n; numărul Mn(x1, . . . , xn) se nume¸ste media numerelor x1, . . . , xn. Definit¸ia 2. Fie I, J ⊂ R două intervale. Fie φ : I → J o funct¸ie bijectivă strict monotonă. Considerăm ¸sirul de funct¸ii M = (Mn)n≥2, Mn : I n → I, ∀n ≥ 2, definit prin (2) Mn(x1, . . . , xn) = φ −1φ(x1) + . . . + φ(xn) n ,∀x1, . . . , xn ∈ I. Evident, M este o medie pe I. Media M se nume¸ste medie cvasiaritmetică. Observat¸ii. 1) În cazul particular în care I = J ¸si φ = 1I, (2) este media aritmetică A = (An)n≥2, unde An(x1, . . . , xn) = x1 + . . . + xn , ∀x1, . . . , xn ∈ I. n În cazul particular în care I = J = (0, ∞) ¸si φ(x) = 1 , ∀x ∈ (0, ∞), (2) este media x n armonică H = (Hn)n≥2, unde Hn(x1, . . . , xn) = , ∀x1, . . . , xn ∈ (0, ∞). 1 1 + . . . + x1 xn În cazul particular în care I = (0, ∞), J = R ¸si φ(x) = ln x, ∀x ∈ (0, ∞), (2) este media geometrică G = (Gn)n≥2, unde G(x1, . . . , xn) = n√ x1 · . . . · xn, ∀x1, . . . , xn ∈ (0, ∞). 2) Dacă M = (Mn)n≥2 este o medie cvasiaritmetică pe I, atunci media M este strict crescătoare, adică pentru orice n ∈ N, n ≥ 2, funct¸ia Mn este strict crescătoare în raport cu fiecare din variabilele x1, . . . , xn. 1 Profesor dr., Colegiul Nat¸ional de Informatică ”Gr. Moisil”, Bra¸sov 21
Page 1 and 2: Anul XII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 3: Anul XII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 6 and 7: Mai întâi cu un număr restrâns
Page 8 and 9: Seminarul Matematic din Ia¸si - 10
Page 10 and 11: Amintiri de la Seminarul Matematic
Page 12 and 13: doream, să consult ¸si să împru
Page 14 and 15: copiere. Îmi amintesc că, în anu
Page 16 and 17: Rigla ¸si compasul Gabriel POPA 1
Page 18 and 19: plus, cum △P AB ¸si △QAB sunt
Page 20 and 21: ezultă că [AM] ≡ [BT ], deci [M
Page 22 and 23: O inegalitate ponderată cu medii G
Page 26 and 27: Definit¸ia 3. Fie I1, I2 ⊂ R dou
Page 28 and 29: 3) Considerăm funct¸ia f : (0,
Page 30 and 31: Demonstrat¸ie. În (2), luând x1
Page 32 and 33: Din faptul că vn+2 vn+1 vn+1 vn=A
Page 34 and 35: Teorema poate fi demonstrată ¸si
Page 36 and 37: de unde, în urma unor calcule simp
Page 38 and 39: Aici avem a2b2 + t2 ≤ 6abt deoare
Page 40 and 41: Fie acum AiAjAkAl un trapez cu axa
Page 42 and 43: Remarque. detA(x, y, z, t) = x 2
Page 44 and 45: Si b divise v alors b divise u 2 ;
Page 46 and 47: coeficient¸i reali ¸si rădăcini
Page 48 and 49: În cazul |α| = √ a 2 + b 2 < 1
Page 50 and 51: Deoarece m(BΩA) = 180 ◦ − B
Page 52 and 53: S¸coala Normală ”Vasile Lupu”
Page 54 and 55: în localul ¸scolii, celelalte fii
Page 56 and 57: 2. Fie triunghiul △ABC înscris
Page 58 and 59: 3. Fie n ∈ N\0, 1} ¸si a1, a2, .
Page 60 and 61: Solut¸ie. Latura pătratului este
Page 62 and 63: V.108. Pe tablă sunt scrise numere
Page 64 and 65: Clasa a VII-a VII.102. În urma unu
Page 66 and 67: Solut¸ie. Se impune ca x ∈ R\{1,
Page 68 and 69: ¸si, cum tg A ∈ N, rezultă că
Page 70 and 71: X.97. Fie a, b, c ∈ C∗ numere c
Page 72 and 73: Solut¸ie. Considerăm B = 0 1 0 .
Page 74 and 75:
=tgn−1 1 x · cos2 x + ctgn−1 1
Page 76 and 77:
) Cum suma ¸si diferent¸a au acee
Page 78 and 79:
maximă când produsul xy este maxi
Page 80 and 81:
Notă. Solut¸ie corectă, bazată
Page 82 and 83:
În cazul în carea =0, concluzia e
Page 84 and 85:
Clasele primare Probleme propuse 1
Page 86 and 87:
VI.117. Fie I centrul cercului îns
Page 88 and 89:
IX.107. Dacă a, b ∈ N∗ + 4b
Page 90 and 91:
Probleme pentru pregătirea concurs
Page 92 and 93:
Training problems for mathematical
Page 94 and 95:
Pagina rezolvitorilor CRAIOVA Coleg
Page 96 and 97:
• IMPORTANT În scopul unei legă
Page 98:
CUPRINS Centenarul SEMINARULUI MATE
show all

x - Recreaţii Matematice

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?