x - Recreaţii Matematice

Demonstrat¸ie. În (2), luând x1 = n√ a1, x2 = n√ a2, . . . , xn = n√ an obt¸inem
A ≥ G, iar pentru x1 = 1
n√ , x2 =
a1
1
n√ , . . . , xn =
a2
1
n√
an
obt¸inem G ≥ H.
Aplicat¸ie. Fie ai > 0, i = 1, n ¸si n ≥ 4. Să se arate că:
a1a2 + a2a3 + a3a1
a 3 1 + a3 2 + a3 3
+ a2a3 + a3a4 + a4a2
a 3 2 + a3 3 + a3 4
+ ana1 + a1a2 + a2an
a 3 n + a 3 1 + a3 2
+ . . . + an−1an + ana1 + a1an−1
a3 n−1 + a3n + a3 +
1
≤ 1
+
a1
1
+ . . . +
a2
1
.
an
Solut¸ie. Din a3 i + a3 j + a3 k ≥ 3aiajak,
1
avem
a3 i + a3j + a3 1
≤ , oricare ar
k 3aiajak
fi i, j, k = 1, n, i ̸= j ̸= k ̸= i. Deci aiaj + ajak + akai
a3 i + a3j + a3 ≤
k
1
3 ·1
+
ak
1
+
ai
1
aj¸si,
sumând, deducem inegalitatea dorită.
Lăsăm în seama cititorului să demonstreze inegalităt¸ile următoare :
1) Fie a > 0, b > 0 cu proprietatea că a + b = 1. Să se arate că
632 + 1
a5 + 632 + 1
≥ 4.
b5 2) Oricare ar fi numerele reale strict pozitive a1, a2, . . . , an, n ≥ 3, avem
a1 + a2
a 2 1 + a2 2
+ a2 + a3
a2 2 + a2 + . . . +
3
an−1 + an
a2 n−1 + a2 +
n
an + a1
a2 n + a2 ≤
1
1
+
a1
1
+ . . . +
a2
1
.
an
3) Fie ai > 0, i = 1, n, astfel încât a1 + a2 + . . . + an = 1. Atunci
ni
+
=1ai 1
ai2
≥n 2 + 12
.
n
4) Să se arate că în orice triunghi ABC au loc inegalităt¸ile:
i) a · sin A
2
ii) a · tg A
2
Bibliografie
+ b · sin B
2
+ b · tg B
2
+ c · sin C
2
+ c · tg C
2
≥ 3ptg A
2
≥ 6p · tg A
2
· tg B
2
· tg B
2
C 3
· tg ;
22
· tg C
2 .
1. V. Chiriac - Matematică. Fundamentele Algebrei, Editura Sigma, 2007.
2. N. Mihăileanu - Istoria Matematicii, vol. 2, Ed. S¸t. ¸si Enciclop., 1981.
3. - Gazeta Matematică, seriile A, B, 1969-2009.
26