x - Recreaţii Matematice

Din faptul că
vn+2 vn+1
vn+1 vn=A n+1 =a 1
1 0vn+1 vn
vn vn−1=avn+1 + vn avn + vn−1
vn+1 vn
rezultă imediat că ¸sirul (vn)n∈N, ce are v0 = 0 ¸si v1 = 1, satisface relat¸ia
(5) vn+2 = avn+1 + vn, n ∈ N.
Numim (vn)n, dat de (5) ¸si v0 = 0, v1 = 1, ¸sir generalizat al lui Fibonacci. Vom vedea
mai jos că multe proprietăt¸i ale ¸sirului (Fn)n∈N al lui Fibonacci rămân valabile ¸si în
acest caz ¸si cu acelea¸si demonstrat¸ii ([2], [3]).
Ecuat¸ia caracteristică ata¸sată ¸sirului (vn)n∈N este
x 2 − ax − 1 = 0,
cu rădăcinile x1 = 1
2 (a + √ a2 + 4) ¸si x2 = 1
2 (a − √ a2 + 4).
Să înlăturăm cazul a = 0, care este banal. Observăm că a2 + 4 nu poate fi pătrat
perfect: pentru a = 1 avem a2 + 4 = 5, iar pentru a ≥ 2 avem a2 < a2 + 4 < (a + 1) 2 .
Adoptăm notat¸ia ϕ = x1, deci x2 = ϕ (conujugatul lui ϕ). Se ¸stie ([1], [3]) că termenul
general al ¸sirului (5) este de forma
vn = Aϕ n + Bϕ n , n ∈ N.
Pentru n = 0 ¸si n = 1 obt¸inem sistemul de ecuat¸ii: A+B = v0 = 0 ¸si Aϕ+Bϕ = v1 = 1
1
din care deducem A = −B = √ . Înlocuind aceste constante, deducem formula
a2 + 4
de tip Binet
(6) vn =
1
√ a 2 + 4 (ϕ n − ϕ n ), n ∈ N.
Mai întâi , vom enumera câteva proprietăt¸i elementare ale ¸sirului (vn)n∈N:
1 ◦
nk
vk =
=1
1
a (vn+1 + vn − 1).
Într-adevăr, t¸inând seama de (5), avem avk = vk+1 −vk−1, k = 1, n. Sumând membru
cu membru aceste egalităt¸i, vom obt¸ine pe cea dorită.
2◦ nk
v2k−1 =
=1
1
a v2n.
Avem: av2k−1 = v2k − v2k−2, k = 1, n. Sumăm membru cu membru.
3 ◦
nk
v2k =
=1
1
a (v2n+1 − 1).
La fel, pornind de la av2k = v2k+1 − v2k−1, k = 1, n.
4 ◦
2nk=1
(−1) k−1 vk = 1
a (v2n − v2n+1 + 1).
28