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Remarque. detA(x, y, z, t) = x 2 − ay 2 − bz 2 + abt 2 . Théorème 2. (A, +, ×) est un sous - anneau de l ′ anneau (M2(R), +, ×). Démonstration. La table de multiplication des matrices I, J, K et L est la suivante: facteur de droite −→ I J K L I I J K L J J aI L aK K K -L bI -bJ L L -aK bJ -abI A ⊂ M2(R) qui est un anneau unitaire. (A, +) est un sous - groupe de (M2(R), +). Enfin, la multiplication est une loi de composition interne pour A compte tenu de la table de multiplication précédente. On en déduit finalement que (A, +, ×) est un sous-anneau unitaire de l ′ anneau (M2(R), +, ×). Les deux théorèmes précédents montrent que l ′ ensemble A muni des opérations habituelles est une Q - algèbre de dimension 4 - [1], VI.4 page 215. Théorème 3. Pour toute matrice A ∈ A l ′ application fA de A dans A définie par ∀X ∈ A, fA(X) = XA est linéaire. De plus, det fA = (detA) 2 . Démonstration. Pour A ∈ A, fA est une application de A dans A puisque X ∈ A et A ∈ A ⇒ XA ∈ A. D ′ autre part: ∀X1 ∈ A, X2 ∈ A fA(X1 + X2) = (X1 + X2)A = X1A + X2A = fA(X1) + fA(X2); ∀X ∈ A, ∀λ ∈ Q, fA(λX) = (λX)A = λ(XA) = λfA(X), i.e. fA ∈ LQ(A). L ′ espace vectoriel A étant muni de la base (I, J, K, L) - voir théorème 1 - soit A = x0I + y0J + z0K + t0L. Déterminons en utilisant la table de multiplication des matrices I, J, K et L la matrice de l ′ endomorphisme fA dans cette base (I, J, K, L): fA(I) = x0I + y0J + z0K + t0L = A fA(J) = ay0I + x0J + at0K + z0L fA(K) = bz0I − bt0J + x0K − y0L fA(L) = −abt0I + bz0J − ay0K + x0L, d ′ où la matrice de fA ∈ LQ(A) dans la base considérée: ay0 bz0 −abt0 y0 x0 −bt0 bz0 Mat(fA, (I, J, K, L)) =x0 z0 at0 x0 −ay0 t0 z0 −y0 x0 et un calcul élémentaire montre alors que det(Mat(fA, (I, J, K, L))=[detA(x0, y0, z0, t0)] 2 compte tenu de la remarque précédente. Théorème 4. Dans le sous-anneau A tout élément non nul est inversible si et seulement si l ′ égalité u 2 = av 2 + bw 2 avec u, v et w entiers n ′ est possible que pour u = v = w = 0. Démonstration. Supposons que (2) {u 2 = av 2 + bw 2 , (u, v, w) ∈ Z 3 } ⇒ u = v = w = 0. 38
L ′ hypothèse (2) étant vérifiée, montrons d ′ abord le lemme suivant: Lemme 5. On a l ′ implication: {u ′2 = av ′2 + bw ′2 , (u ′ , v ′ , w ′ ) ∈ Q 3 } ⇒ u ′ = v ′ = w ′ = 0. Démonstration. α étant le P.P.C.M. des dénominateurs de u ′ , v ′ et w ′ il vient: u ′2 = av ′2 + bw ′2 ⇒ (u ′ α) 2 = a(v ′ α) 2 + b(w ′ α) 2 , u ′ α ∈ Z, v ′ α ∈ Z, w ′ α ∈ Z. L ′ hypothèse (2) montre alors que: u ′ α = v ′ α = w ′ α = 0, d ′ où u ′ = v ′ = w ′ = 0. Démontrons alors que toute matrice de A−{0} est inversible. Supposant la matrice A = xI + yJ + zK + tL ∈ A non inversible, montrons que A = 0. Il vient - voir remarque -: detA = 0 soit x 2 − ay 2 = b(z 2 − at 2 ), ce qui implique: (z 2 − at 2 )(x 2 − ay 2 ) = b(z 2 − at 2 ) 2 ⇒ z 2 x 2 + a 2 t 2 y 2 − a(t 2 x 2 + z 2 y 2 ) = b(z 2 − at 2 ) 2 soit finalement: où ⇒ z 2 x 2 + 2axyzt + a 2 t 2 y 2 − a(t 2 x 2 + 2xyzt + z 2 y 2 ) = b(z 2 − at 2 ) 2 ⇒ (zx + aty) 2 − a(tx + zy) 2 = b(z 2 − at 2 ) 2 (zx + aty) 2 = a(tx + zy) 2 + b(z 2 − at 2 ) 2 , (zx + aty, tx + zy, z 2 − at 2 ) ∈ Q 3 . L ′ hypothèse (2) étant vérifiée il vient alors en particulier, compte tenu du lemme précédent: z 2 − at 2 = 0. En utilisant une nouvelle fois le lemme avec u ′ = z, v ′ = t et w ′ = 0 on obtient: z = t = 0. Par suite x 2 −ay 2 = 0 et, d ′ après le même raisonnement: x = y = 0, i.e. A = 0. On suppose que tout élément A ∈ A − {0} est inversible. Soit (u, v, w) ∈ Z 3 tels que u 2 = av 2 + bw 2 et considérons la matrice A = uI + vJ + wK ∈ A. Si A ̸= 0, elle est inversible - hypothèse -, donc son déterminant n ′ est pas nul: u 2 − av 2 − bw 2 ̸= 0, ce qui est absurde. On en déduit que A = 0, d ′ où u = v = w = 0. Le théorème est ainsi démontré. Corollaire 6. Si b est un nombre premier et si pour tout n entier n 2 - a n ′ est pas divisible par b, alors tout élément non nul du sous - anneau A est inversible dans A. Démonstration. On se propose de démontrer l ′ implication suivante: (3) {b premier et ∀n, n 2 − a non divisible par b} ⇒ ⇒ {u 2 = av 2 + bw 2 où (u, v, w) ∈ Z 3 ⇒ u = v = w = 0} ce qui démontrera le corollaire compte tenu du théorème précédent. b étant premier et ∀n, n2- a n ′ étant pas divisible par b, soit (u, v, w) ∈ Z3 vérifiant u2 = av2 + bw2 . On peut supposer u, v, w premiers entre eux dans leur ensemble, car sinon, δ étant leur P.G.C.D. on aurait: u = δu ′ , v = δv ′ , w = δw ′ et u ′2 = av ′2 + bw ′2. 39
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