x - Recreaţii Matematice

VII.106. Se consideră paralelogramul ABCD, E ¸si F mijloacele laturilor [AB],
respectiv [AD], {G} = CE∩BD, {H} = CF ∩BD, {P } = F G∩BC, {Q} = EH∩CD.
Arătat¸i că 3EF = 2P Q.
Mirela Marin, Ia¸si
Solut¸ie. Din △DHF ∼ △BHC, deducem că DH
HB
△BHE, obt¸inem că DQ
BE
= DH
HB
1
= , prin urmare
2
= DF
BC
1
= . Cum △DHQ ∼
2
D Q
H
DQ = F
G P
A E B
1
DQ 1
AB, adică = . Analog se arată că
4 DC 4
BP 1
= , deci P Q∥BD (reciproca teoremei lui Thales),
BC 4
P Q CQ 3
3
iar = = (teorema fundamentală a asemănării). Astfel, 2P Q = · BD =
BD CD 4 2
3 · 1
BD = 3F E (deoarece [F E] este linie mijlocie în △ABD).
2
VII.107. Fie ABC un triunghi cu m(C) = 60◦ , L proiect¸ia lui A pe BC, M
proiect¸ia lui B pe AC, iar D mijlocul lui [AB]. Demonstrat¸i că triunghiul DML este
echilateral.
Neculai Roman, Mirce¸sti (Ia¸si)
Solut¸ie. În triunghiurile LAB ¸si MAB, LD ¸si respectiv MD sunt mediane,
prin urmare LD = MD = A
D
M
1
AB, deci △DML este isoscel, la fel
2
ca ¸si triunghiul ADM. Vom avea căAMD =A ¸si, cum patrulaterul
ABLM este inscriptibil, avem ¸si căCML ≡B. Astfel,
m(DML) = 180◦ − m(AMD) − m(CML) = 180◦ − m(A) −
m(B) = m(C) = 60◦ , deci △DML va fi chiar echilateral.
VII.108. Considerăm în plan trei cercuri distincte, congru- B L C
ente, ale căror centre nu sunt coliniare. Construit¸i cu rigla ¸si compasul un cerc la
care cercurile date să fie tangente interior.
Adrian Corduneanu, Ia¸si
Solut¸ie. Putem determina, folosind rigla ¸si compasul, centrele celor trei cercuri
date; să notăm cu A, B ¸si C aceste centre. Aflăm, cu rigla ¸si compasul, centrul O
al cercului circumscris triunghiului ABC ¸si punctul M de intersect¸ie al dreptei OA
cu cercul de centru A, astfel încât OM > OA. Astfel, cercul de centru O ¸si rază
OM este cercul căutat: dacă r este raza cercurilor date, iar {N} = OB ∩ C(B, r),
{P } = OC ∩ C(C, r), atunci ON = OB + BN = OA + r = OM ¸si analog OP = OM.
Mai trebuie justificat că C(O, OM) are câte un singur punct comun cu cercurile
date. Dacă, de exemplu, ar exista un al doilea punct Q comun cercurilor C(O, OM) ¸si
C(A, r), atunci OQ < OA + AQ (inegalitatea triunghiului), deci OQ < OA + r = OM
¸si se ajunge la o contradict¸ie.
Clasa a VIII-a
+ 2 − 2
VIII.102. Rezolvat¸i în R ecuat¸iax
+x
−
x − 12
x + 12
26
5 · x2 − 4
x2 = 0.
− 1
Vasile Chiriac, Bacău
61
C