x - Recreaţii Matematice

More documents

Recommendations

Info

Teorema poate fi demonstrată ¸si pe baza relat¸iei 6 ◦ ¸si procedând prin induct¸ie după d. Teorema 3. Dacă n este număr compus, n ̸= 4, atunci vn este număr compus. Demonstrat¸ie. v4 = a 3 +2a este prim pentru a = 1. Dacă n = n1n2, 1 < n1 ≤ n2, cel put¸in n2 ≥ 2, deci vn2 > 1, vn2 < vn ¸si vn2|vn. Teorema 5. (vn+1, vn) = 1, ∀n ∈ N. Demonstrat¸ie. (vn+1, vn) = (avn + vn−1, vn) = (vn, vn−1) = . . . = (v1, v0) = 1. Teorema 6. (vm, vn) = v (m,n), ∀m, n ∈ N. Demonstrat¸ie. Se face pe baza algoritmului lui Euclid ¸si cu utilizarea proprietăt¸ii 6 ◦ ¸si Teoremei 5. Pentru detalii se pot vedea [2], [3]. Încheiem cu o proprietate de aproximare: Teorema 7. vn este numărul întreg cel mai apropiat de termenul de rang n al 1 progresiei geometrice cu termenul de rangul zero egal cu √ ¸si rat¸ia ϕ. a2 + 4 1 √ a 2 + 4 (ϕ n − ϕ n ) − Demonstrat¸ie. Într-adevăr, avem: vn − ϕn 4= √ a2 + Bibliografie ϕn √ a2 + 4= = |ϕ|n √ a 2 + 4 = (√ a 2 + 4 − a) n 2 n√ a 2 + 4 < 2 n 2 n√ a 2 + 4 1. A. Marku¸sevici – S¸iruri recurente, Editura Tehnică, Bucure¸sti, 1954. < 1 2 . 2. P. Minut¸, C. Simirad – Numere prime. Numere prime speciale, Editura Matrix Rom, Bucure¸sti, 2005. 3. N.N. Vorobiev – Numerele lui Fibonacci, Editura Tehnică, Bucure¸sti, 1953. Vizitat¸i pagina web a revistei: http://www.recreatiimatematice.ro 30
Generalizarea unei identităt¸i ¸si aplicat¸ii Lucian TUT¸ ESCU 1 Abstract. In this Note, the identity (1) is generalized as (2). Two applications are also given. Keywords: identity, polynomial, divisibility, composed number. MSC 2000: 13M10. Identitatea pe care o vom generaliza ¸si utiliza în aplicat¸ii este (1) a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca), ∀a, b, c ∈ R. avem Pentru a o demonstra considerăm P (x) = (x − a)(x − b)(x − c) = x 3 − (a + b + c)x 2 + (ab + bc + ca)x − abc; P (a) = a 3 − (a + b + c)a 2 + (ab + bc + ca)a − abc = 0, P (b) = b 3 − (a + b + c)b 2 + (ab + bc + ca)b − abc = 0, P (c) = c 3 − (a + b + c)c 2 + (ab + bc + ca)c − abc = 0. Adunând relat¸iile de mai sus membru cu membru, obt¸inem a 3 + b 3 + c 3 − (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ) + (a + b + c)(ab + bc + ca) − 3abc = 0, de unde deducem identitatea (1). Vom folosi această identitate binecunocută în rezolvarea câtorva probleme. Propozit¸ie. Arătat¸i că are loc următoarea identitate: (2) x 3 + y 3 + z 3 + t 3 − 3xyz − 3xyt − 3xzt − 3yzt = = (x + y + z + t)(x 2 + y 2 + z 2 + t 2 − xy − xz − xt − yz − yt − zt), ∀x, y, z, t ∈ R. Într-adevăr, avem egalităt¸ile: x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz = (x + y + z + t − t)(x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx), x 3 + y 3 + t 3 − 3xyt = (x + y + z + t − z)(x 2 + y 2 + z 2 − xy − yt − tx), x 3 + z 3 + t 3 − 3xzt = (x + y + z + t − y)(x 2 + z 2 + t 2 − xz − zt − tx), y 3 + z 3 + t 3 − 3yzt = (x + y + z + t − x)(y 2 + z 2 + t 2 − yz − zt − ty), care, adunate membru cu membru, conduc la: 3(x 3 + y 3 + z 3 + t 3 ) − 3xyz − 3xyt − 3xzt − 3yzt = = (x + y + z + t)(3x 2 + 3y 2 + 3z 2 + 3t 2 )− −(x + y + z + t)(2xy + 2xz + 2xt + 2yz + 2yt + 2zt)− −t(x 2 + y 2 + z 2 + t 2 − t 2 ) − z(x 2 + y 2 + z 2 + t 2 − z 2 )− −y(x 2 + y 2 + z 2 + t 2 − y 2 ) − x(x 2 + y 3 + z 2 + t 2 − x 2 )+ +3(xyz + xyt + xzt + yzt), 1 Profesor, Colegiul Nat¸ional ”Frat¸ii Buze¸sti”, Craiova 31
Page 1 and 2: Anul XII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 3: Anul XII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 6 and 7: Mai întâi cu un număr restrâns
Page 8 and 9: Seminarul Matematic din Ia¸si - 10
Page 10 and 11: Amintiri de la Seminarul Matematic
Page 12 and 13: doream, să consult ¸si să împru
Page 14 and 15: copiere. Îmi amintesc că, în anu
Page 16 and 17: Rigla ¸si compasul Gabriel POPA 1
Page 18 and 19: plus, cum △P AB ¸si △QAB sunt
Page 20 and 21: ezultă că [AM] ≡ [BT ], deci [M
Page 22 and 23: O inegalitate ponderată cu medii G
Page 24 and 25: Aplicat¸ia 2. Fie a, b, p, q ∈ R
Page 26 and 27: Definit¸ia 3. Fie I1, I2 ⊂ R dou
Page 28 and 29: 3) Considerăm funct¸ia f : (0,
Page 30 and 31: Demonstrat¸ie. În (2), luând x1
Page 32 and 33: Din faptul că vn+2 vn+1 vn+1 vn=A
Page 36 and 37: de unde, în urma unor calcule simp
Page 38 and 39: Aici avem a2b2 + t2 ≤ 6abt deoare
Page 40 and 41: Fie acum AiAjAkAl un trapez cu axa
Page 42 and 43: Remarque. detA(x, y, z, t) = x 2
Page 44 and 45: Si b divise v alors b divise u 2 ;
Page 46 and 47: coeficient¸i reali ¸si rădăcini
Page 48 and 49: În cazul |α| = √ a 2 + b 2 < 1
Page 50 and 51: Deoarece m(BΩA) = 180 ◦ − B
Page 52 and 53: S¸coala Normală ”Vasile Lupu”
Page 54 and 55: în localul ¸scolii, celelalte fii
Page 56 and 57: 2. Fie triunghiul △ABC înscris
Page 58 and 59: 3. Fie n ∈ N\0, 1} ¸si a1, a2, .
Page 60 and 61: Solut¸ie. Latura pătratului este
Page 62 and 63: V.108. Pe tablă sunt scrise numere
Page 64 and 65: Clasa a VII-a VII.102. În urma unu
Page 66 and 67: Solut¸ie. Se impune ca x ∈ R\{1,
Page 68 and 69: ¸si, cum tg A ∈ N, rezultă că
Page 70 and 71: X.97. Fie a, b, c ∈ C∗ numere c
Page 72 and 73: Solut¸ie. Considerăm B = 0 1 0 .
Page 74 and 75: =tgn−1 1 x · cos2 x + ctgn−1 1
Page 76 and 77: ) Cum suma ¸si diferent¸a au acee
Page 78 and 79: maximă când produsul xy este maxi
Page 80 and 81: Notă. Solut¸ie corectă, bazată
Page 82 and 83: În cazul în carea =0, concluzia e
Page 84 and 85:
Clasele primare Probleme propuse 1
Page 86 and 87:
VI.117. Fie I centrul cercului îns
Page 88 and 89:
IX.107. Dacă a, b ∈ N∗ + 4b
Page 90 and 91:
Probleme pentru pregătirea concurs
Page 92 and 93:
Training problems for mathematical
Page 94 and 95:
Pagina rezolvitorilor CRAIOVA Coleg
Page 96 and 97:
• IMPORTANT În scopul unei legă
Page 98:
CUPRINS Centenarul SEMINARULUI MATE
show all

x - Recreaţii Matematice

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?