x - Recreaţii Matematice

În cazul în carea =0, concluzia este imediată. În caz contrar,a va fi generator al
grupului ciclic (Z ∗ p, ·), prin urmare −1 = a s ,2 = a t ¸si −2 = a s+t , pentru anumite
numere naturale s ¸si t. Deoarece cel put¸in unul dintre numerele s, t ¸si s + t este
par, rezultă că unul dintre elementele −1,2, −2 este pătrat perfect în Zp, decif va fi
reductibil în Zp(X).
L164. O secvent¸ă x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , yn de 2n numere reale are proprietatea
(P ) dacă x 2 i + y2 i = 1, ∀i = 1, n. Fie n ∈ N∗ astfel încât pentru orice secvent¸ă cu
proprietatea (P ), există 1 ≤ i < j ≤ n cu xixj + yiyj ≥ 0, 947. Determinat¸i cea mai
bună constantă α a¸sa încât xixj + yiyj ≥ α, pentru orice secvent¸ă cu proprietatea
(P ).
Vlad Emanuel, student, Bucure¸sti
Solut¸ie. Considerăm punctele Mk(xk, yk), k = 1, n ¸si vectorii ⃗vk = −−−→
OMk. Pentru
o secvent¸ă cu proprietatea (P), avem că |⃗vk| = 1, k = 1, n, deci xixj + yiyj = ⃗vi ·
⃗vj = |⃗vi| · |⃗vj| cos(−→
v i, −→ v j) = cos(−→
v i, −→ v j). Vom demonstra că, în ipotezele problemei,
n ≥ 20. Presupunem, prin absurd, că n ≤ 19 ¸si alegem Mk-imaginile rădăcinilor de
ordin n ale unităt¸ii. Atunci xixj+yiyj ≤ cos 2π 2π
≤ cos < 0, 947, după cum se poate
n 19
constata cu ajutorul unui calculator. Fie deci n ≥ 20; deoarecem((−→
v k, −→ v k+1)) =
2π, unde ⃗vn+1 = ⃗v1, înseamnă că cel put¸in unul dintre unghiurile (−→
v k, −→ v k+1) este cel
mult egal cu 2π
n . Pentru acel unghi, xkxk+1 + ykyk+1 ≥ cos 2π π
≥ cos
n 10 =5 + √ 5
8
¸si această constantă nu poate fi îmbunătăt¸ită, căci putem lua n = 20 ¸si Mk imaginile
rădăcinilor de ordin 20 ale unităt¸ii. În concluzie, α =5 + √ 5
.
8
L165. Fie n ≥ 2 un număr natural. Determinat¸i cel mai mare număr natural
m pentru care există submult¸imile nevide ¸si distincte A1, A2, . . . , Am ale lui A =
{1, 2, . . . , n}, cu proprietatea că fiecare element al lui A este cont¸inut în cel mult k
dintre ele, unde:
a) k = 2; b) k = n; c) k = n + 1.
Marian Tetiva, Bârlad
Solut¸ie. Fie xi, i = 1, n, numărul acelora dintre submult¸imile A1, A2, . . . , An care
au i elemente ¸si fie yj, j = 1, m, numărul elementelor lui A care se găsesc în exact
j dintre mult¸imile A1, A2, . . . , Am. Avem evident că x1 + x2 + . . . + xn = m, iar
y1 + y2 + . . . + ym ≤ n (se poate să fie elemente ale lui A care să nu apart¸ină niciuneia
dintre submult¸imi). Egalitatea
(1) x1 + 2x2 + . . . + nxn = y1 + 2y2 + . . . + mym
se obt¸ine numărând în două feluri toate elementele care apar în A1, A2, . . . , Am, incluzând
repetit¸iile (¸si este adevărată chiar dacă A1, A2, . . . , Am nu sunt distincte).
a) În ipoteza k = 2, avem că yj = 0, ∀j ≥ 3, deci y1+y2 ≤ n ¸si x1+2x2+. . .+nxn =
y1 + 2y2. Atunci
2m − x1 = x1 + 2(m − x1) = x1 + 2(x2 + . . . + xn) ≤
78