x - Recreaţii Matematice

Analog se obt¸in încă două minorări ¸si deducem că
≥ (a − b)2 + (a − c) 2
(1 + a)Q
4 4 4
+ +
1 + a 1 + b 1 + c
+ (b − c)2 + (b − a) 2
(1 + b)Q
3(a + b + c)
−
a2 + b2 ≥
+ c2 + (c − a)2 + (c − b) 2
,
(1 + c)Q
inegalitate echivalentă cu cea din enunt¸. Egalitatea se atinge pentru a = b = c = 1
3 .
L162. Dacă n ∈ Z∗ este fixat, rezolvat¸i în R ecuat¸iax
n=[x]
n.
Dumitru Mihalache ¸si Gabi Ghidoveanu, Bârlad
Solut¸ie. Dacă n ∈ N∗ , mult¸imea solut¸iilor ecuat¸iei este R, conform unei cunoscute
proprietăt¸i a părt¸ii întregi. Într-adevăr,
x
⇔ kn ≤ x < (k + 1)n ⇔ kn ≤ [x] < (k + 1)n ⇔[x]
n=k
n=k.
În cazul în care n ∈ Z\N ∗ , există ¸si sunt unice numerele q ∈ Z ¸si r ∈ R, 0 ≤ r < |n|,
astfel ca x = nq + r. Urmează că
x
n=nq + r
n =q + r
n=q+r
n,
[x]
n=[nq + r]
n =nq + [r]
n =q+[r]
n.
Dacă r = 0, atuncir
Dacă r ∈ (0, 1), atuncir
deoarece
n=[r]
n=0.
n=−1,
r 1
∈−
n |n| , 0, iar[r]
Dacă r ∈ [1, |n|), atunci
n=0. r |r|
,
n n ∈−1, − 1
deci
|n|,
r
De aici se obt¸ine că, pentru n ∈ Z\N
n=[r]
n=−1. ∗ , mult¸imea solut¸iilor ecuat¸iei
din enunt¸ este R\(nq,
nq + 1).
q∈Z
L163. Fie a un număr întreg impar, iar n ∈ N∗ . Arătat¸i că polinomul X2n + a2n este ireductibil în Z[X] însă, pentru orice număr prim p, polinomul redus modulo p
este reductibil în Zp[X].
Dorel Mihet¸, Timi¸soara
Solut¸ie. Deoarece f(X +a) = X2n +C 1 2naX2n −1 2
+. . .+C n −1
2n a2n −1 2 X +2a n
, iar
coeficient¸ii binomiali C1 2n, . . . , C2n −1
2n sunt tot¸i pari, din criteriul lui Eisenstein rezultă
că f(X + a) (¸si la fel f) este ireductibil peste Q, deci ¸si peste Z (având coeficientul
dominant 1).
Dacă p = 2, atuncif = X2n +1 este reductibil în Z2[X], deoarece este de grad
mai mare decât unu ¸si are rădăcina 1. Fie p un număr prim impar; putem scrie că
f = X 2n
= (X 2n−1
+a 2n = (X 2n−1
) 2 − (−1a 2n ) = (X 2n−1
+a 2n−1 ) 2 −2a 2n−1 · X 2n−1
=
−a 2n−1 ) 2 − (−2a 2n−1 · X 2n−1
).
77