x - Recreaţii Matematice

Deoarece m(BΩA) = 180 ◦ − B ¸si m(AΩC) = 180 ◦ − A, rezultă că
AΩ b sin B
=
BΩ c sin A
sin(B − ω)
= .
sin ω
Dezvoltând sin(B − ω) ¸si t¸inând cont că b sin B
=
c sin C
(1) ctgω = ctgA + ctgB + ctgC.
¸si sin(A + C) = sin B, se obt¸ine:
Dacă vom nota m(Ω ′ AC) = ω ′ ¸si vom rat¸iona analog, vom obt¸ine ctgω ′ = ctgA +
ctgB + ctgC. Aceasta ¸si relat¸ia (1) conduc la ω = ω ′ , ceea ce arată că punctele Ω ¸si
Ω ′ sunt izogonale.
Unghiul ω se nume¸ste unghiul lui Brocard ¸si apare în multe împrejurări în geometria
triunghiului (v. [1]).
Teorema 3. Cercurile adjuncte CA ¸si BA se intersectează pe simediana din A.
Demonstrat¸ie. Fie S al doilea punct de intersect¸ie al cercurilor CA ¸si BA
(fig. 2) ¸si {P } = AS ∩ BC. Din faptul căSCA ≡SAB ¸si
A
SBA ≡SAC, deducem că △SBA ∼ △SAC, de unde SB
SC =
AB 2
. Pe de altă parte, din congruent¸ele de mai sus obt¸inem
AC2 BSP ≡CSP , iar cu teorema bisectoarei în triunghiul BSC
vom avea SB P B
P B AB2
= . Ca urmare, = , ceea ce
SC P C P C AC2 arată că AP este simediana din A.
S
B C
Fig. 2
Teorema 4. Cercurile adjuncte AB ¸si AC se intersectează pe mediana din A.
Demonstrat¸ie. Fie Q al doilea punct de intersect¸ie a cercurilor AB ¸si AC ¸si
{M} = AQ ∩ BC. Dreapta AQ fiind axa radicală a cercurilor AB ¸si AC, avem
MB 2 = MQ · MA = MC 2 , de unde rezultă că MB = MC.
Observat¸ii. a) Teorema 3 exprimă faptul că axa radicală a două cercuri adjuncte
care sunt tangente la două laturi ce au un vârf comun este simediana dusă din acel
vârf, iar Teorema 4 spune că axa radicală a două cercuri adjuncte tangente la aceea¸si
latură este mediana corespunzătoare acestei laturi.
b) Drept axă radicală a două cercuri adjuncte unui triunghi pot fi: cevienele Brocard
(AΩ, AΩ ′ etc.), simedianele, medianele sau laturile triunghiului (latura BC, de
exemplu, este axa radicală a cercurilor BC ¸si CB).
Pentru noi precizări privind centrele radicale ale tripletelor de cercuri adjuncte,
vom utiliza următoarea
Lemă. Coardele comune a trei cercuri secante două câte două sunt concurente.
Demonstrat¸ie. Fie C1, C2, C3 trei cercuri secante ¸si a1, a2, a3 axele radicale ale
perechilor (C2, C3), (C3, C1) ¸si respectiv (C1, C2). Notăm P intersect¸ia dintre a1 ¸si a2
¸si observăm că P va avea puteri egale fat¸ă de toate cercurile, deci P va fi ¸si pe axa
radicală a3 a cercurilor C1 ¸si C2.
Teorema 5. Au loc afirmat¸iile:
46