x - Recreaţii Matematice

Notă. De fapt, ¸sirul un = vc n, ∀n ∈ N∗ , verifică relat¸ia de recurent¸ă un+1 =
un + d
, ∀n ∈ N∗ , recurent¸ă omografică care se studiază în mod uzual.
un
XI.100. Demonstrat¸i că
(x + 1)sin π π
− cos
x + 1 x + 1 0, deci h este crescătoare, astfel că h(t) ≤
hπ
∀t ∈0,
2=1, π
Deducem că f(x + 1) − f(x) < 1, întrucât
2. π π
∈0,
c 2.
Analog se demonstrează că g(x + 1) − g(x) > 1, ∀x ≥ 2, ceea ce încheie rezolvarea.
Clasa a XII-a
XII.96. Rezolvat¸i în S5 ecuat¸ia x11 2 3 4 5
=1
5 3 4 1 2.
Liviu Smarandache ¸si Ionut¸ Ivănescu, Craiova
2 3 4 5
Solut¸ie. Notăm σ =1
observăm că ordσ = 5. Din x
5 3 4 1 2¸si 11 = σ
rezultă că x55 = e, prin urmare ordx|55, deci ordx ∈ {1, 5, 11, 55}. Pe de altă parte,
cum ordS5 = 120, atunci ordx|120 ¸si rămâne că ordx ∈ {1, 5}. Dacă ordx = 1, ar
rezulta că x = e ¸si se ajunge la contradict¸ie e = e11 = x11 = σ. Dacă ordx = 5,
obt¸inem că σ = x11 = x · x5 · x5 = x, adică singura solut¸ie a ecuat¸iei date este x = σ.
XII.97. Fie ak ∈ R, k = 0, n, iar m ∈ (0, ∞) astfel încât
t
mk=0
t
ak
m + k
= 0. Să se
arate că ecuat¸ia a0 + a1x + . . . + anx n = 0 admite solut¸ie în intervalul (0, 1).
Mihail Bencze, Bra¸sov
Solut¸ie. Aplicăm teorema de medie funct¸iei f : [0, 1] → R, f(x) = (a0 + a1x +
. . . + anx n ) · x m−1 , pentru care1
0
f(x)dx =
nk =0
ak
= 0.
m + k
XII.98. Determinat¸i primitivele funct¸iei f : (0, π) → R, f(x)= sin3n−1 x · cos n−1 x
sin 4n x + cos 4n x ,
n ∈ N ∗ .
I.V. Maftei, Bucure¸sti ¸si Mihai Haivas, Ia¸si
Solut¸ie. Fie I =sin 3n−1 x · cosn−1 x
sin 4n x + cos4n x dx, J =cos3n−1 x · sin n−1 x
sin 4n x + cos4n dx, unde
x
x ∈ (0, π). Observăm că
I + J =sin n−1 x cosn−1 x(sin 2n x + cos2n x)
sin 4n x + cos4n dx =
x
69