x - Recreaţii Matematice

≤ x1 + 2x2 + . . . + nxn = y1 + 2y2 ≤ 2(y1 + y2) ≤ 2n,
deci 2m ≤ 2n + x1 ≤ 3n (deoarece x1 nu poate depă¸si C1 n, numărul submult¸imilor
2
lui A cu un singur element). Am obt¸inut astfel că m ≤3n
Demonstrăm că
3n
2.
chiar maximul căutat: submult¸imile cu un element ale lui A ¸si încăn
2este
submult¸imi 3n
cu două elemente, alese astfel încât să fie două câte două disjuncte, sunt
cu proprietatea că fiecare element al lui A se află în cel mult două
2submult¸ini
dintre ele.
b) Avem că yj = 0, ∀j ≥ n + 1, deci y1 + y2 + . . . + yn ≤ n, iar relat¸ia (1) devine
x1 + 2x2 + . . . + nxn = y1 + 2y2 + . . . + nyn. Atunci
3m − 2x1 − x2 = x1 + 2x2 + 3(m − x1 − x2) = x1 + 2x2 + 3(x1 + . . . + xn) ≤
≤ x1 + 2x2 + . . . + nxn = y1 + 2y2 + . . . + yn ≤ n(y1 + . . . + yn) ≤ n 2 ,
deci 3m ≤ n 2 + 2x1 + x2 ≤ n 2 + 2C 1 n + C 2 n = 3n2 + 3n
că m ≤
2
. Obt¸inem, în cele din urmă,
n(n + 1)
. Cum submult¸imile nevide cu cel mult două elemente ale lui A
2
sunt în număr de n +
n(n + 1)
2
n(n − 1)
2
este maximul căutat.
= n(n + 1)
2
¸si au proprietăt¸ile din enunt¸, înseamnă că
c) Cu un rat¸ionament asemănător, obt¸inem că m maxim este
ERATĂ
n(n + 1)
2
+n
3.
Dintr-o eroare de editare, pe care o regretăm ¸si pentru care ne cerem scuze, din lista
membrilor Comitetului de redact¸ie al Recreat¸iilor Matematice a fost omis, începând cu
nr. 1/2007, dl. Alexandru CĂRĂUS¸U, pasionat sust¸inător al revistei. În spiritul
corectitudinii, aducem această rectificare de ordin formal.
∗
∗ ∗
Recreat¸ii Matematice – 1/2009
- p. 9, r. 5: în loc de ”bisectoare” se va considera ”bisectoarea”;
- p. 26, r. 6 de jos: în loc de ”R” se va considera ”1”;
- p. 79, r. 9: în loc de ”xiyj + yiyj” se va considera ”xixj + yiyj”;
- p. 81, r. 9 de jos: în loc de ”xiyi + yiyj” se va considera ”xixj + yiyj”.
Recreat¸ii Matematice – 2/2009
- p. 96, r. 11 de jos: în loc de ”aα 1 + . . . + aα n” se va considera ”a β
1 + . . . + aβn”; - p. 172, r. 11 de jos: în loc de Ha¸sedeu se va considera ”Hasdeu”.
79