x - Recreaţii Matematice

More documents

Recommendations

Info

2. Fie triunghiul △ABC înscris în cercul C(O, R). Se cere locul geometric al punctelor M din planul triunghiului, pentru care are loc relat¸ia MA2 +MB 2 +MC 2 = 3R2 . Dan Brânzei 3. Determinat¸i x, y, z pentru care 1 3 1 + + 2x 2y 2z = 2x + 3 · 2y+2 + 2z+2 = 9. Recreat¸ii Matematice - 1/2008 Clasa a IX-a 1. Rezolvat¸i, în necunoscuta (x; y) ∈ Q × Q, ecuat¸ia x2009 + y2009 = x2010 + y2010 . 2. Într-un careu cu 41 linii ¸si 49 coloane se scriu la întâmplare 2009 numere reale distincte. Fie A mult¸imea ce are ca elemente cele mai mici numere de pe fiecare linie, respectiv B mult¸imea ce are ca elemente cele mai mari numere de pe fiecare coloană. Determinat¸i probabilitatea ca cel mai mare element din mult¸imea A să fie chiar cel mai mic element din mult¸imea B. 3. Fie D un punct în planul unui triunghi echilateral △ABC încât BD = DC, m(∢BDC) = 300 ¸si dreapta BC separă A ¸si D. Dacă E ∈ (BD) ¸si m(∢BAE) = 150 , să se arate că CE⊥AC. Recreat¸ii Matematice - 2/2007 Clasa a X-a 1. Rezolvat¸i, în necunoscuta (x; y) ∈ N × N, ecuat¸ia x · (x + 2) · (x + 8) = 3 y . 2. Fie triunghiul △ABC cu m(∢ABC) = m(∢ACB) = 80 0 ¸si P ∈ (AB) astfel încât m(∢BP C) = 30 0 . Arătat¸i că AP = BC. 3. Determinat¸i funct¸iile f : N → N, pentru care are loc egalitatea 2 · f(n + 3) · f(n + 2) = f(n + 1) + f(n) + 1, ∀n ∈ N. Recreat¸ii Matematice - 2/2007 Clasa a XI-a 1. Fie triunghiul △ABC nedreptunghic. Paralela prin B la AC ¸si simetrica dreptei AC în raport cu BC se intersectează în A1; analog se obt¸in punctele B1 ¸si C1. Dacă dreptele AA1, BB1, CC1 sunt concurente, să se arate că triunghiul △ABC este echilateral. Recreat¸ii Matematice - 1/2006 2. Fie funct¸ia f : A → A, unde A este o mult¸ime finită din R. Dacă |f(x)−f(y)| < |x − y|, ∀x, y ∈ A, x ̸= y, să se arate că funct¸ia f nu este nici injectivă, nici surjectivă. Lucian Georges Lăduncă 3. Fie ¸sirul (xn) n≥1 definit recurent prin x1 ∈ N, xn+1 =3xn 2+1, ∀n ∈ N ∗ . Este posibil să alegem x1 număr natural, astfel încât primii 2008 termeni ai ¸sirului să fie numere pare ¸si al 2009-lea să fie impar? Lucian Georges Lăduncă Clasa a XII-a 1. Fie ¸sirul (xn) n≥1 dat de x1∈− π existent¸a limitelor lim n→∞ xn ¸si lim n→∞ 4 , 0,xn+1=2xn−tg xn, ∀n ≥ 1. Să se studieze n√ −xn. Recreat¸ii Matematice - 1/2006 2. Să se determine funct¸iile derivabile f : I → (0; +∞) ¸si intervalul I ⊂ R, ¸stiind că f(0) = 1 ¸si f 3 (x) + f ′ (x) = 0, ∀x ∈ I. Gabriel Mîr¸sanu 3. Fie funct¸ia g : [0; 1] → R derivabilă pe (0; 1) cu g(0) = 0, iar f : [0; 1] → R+ o funct¸ie cu proprietatea f(x) = g ′ (x), ∀x ∈ [0; 1]. Să se arate că există cel put¸in un punct c ∈ (0; 1) astfel încât π · g(c) · cosπ 2 2 c
Concursul de matematică ”Gaudeamus” Edit¸ia I, Ia¸si, 2009 În perioada 30 octombrie - 1 noiembrie 2009, la Facultatea de Matematică a Universităt¸ii ”Alexandru Ioan Cuza” Ia¸si, s-a desfă¸surat prima edit¸ie a Concursului de Matematică ”Gaudeamus”. Organizatorii manifestării sunt: Facultatea de Matematică ¸si Fundat¸ia Seminarului Matematic ”Alexandru Myller”. Colaboratori: Inspectoratul S¸colar Judet¸ean Ia¸si ¸si Liceul de Informatică ”Grigore Moisil” Ia¸si. Manifestarea s-a desfă¸surat pe două sect¸iuni: 1)proba scrisă individuală; 2) concursul de proiecte ”Matematica în lumea reală”. 1) Proba scrisă individuală s-a adresat elevilor claselor a X-a, a XI-a, a XII-a ¸si a cont¸inut subiecte din programele ¸scolare ale anilor anteriori; tematica a fost publicată pe site-ul Facultăt¸ii de Matematică, www.math.uaic.ro . Listele cu elevii participant¸i, precum ¸si rezultatele lor, pot fi consultate la aceea¸si adresă internet. 2) Concursul de proiecte ”Matematica în lumea reală” s-a adresat elevilor sau echipelor de elevi (maxim patru), fără limitare de vârstă, ¸si a constat în prezentarea unor solut¸ii matematice la probleme concrete ale lumii reale. Au fost sust¸inute 12 proiecte. Acest concurs dore¸ste să fie, în primul rând, un mijloc de apropiere între Facultatea de Matematică ¸si elevii din învăt¸ământul preuniversitar. Numărul de participant¸i (aproximativ 150 de elevi din judet¸ele Bacău, Boto¸sani, Neamt¸, Vaslui ¸si Ia¸si), precum ¸si rezultatele obt¸inute, sunt încurajatoare. Subiectele propuse la proba scrisă individuală Clasa a X-a 1. i) Să se arate că, dacă 3 | a 2 + b 2 , unde a, b ∈ N, atunci 3 | a ¸si 3 | b. ii) Să se arate că nu există (a, b, c, d) ∈ N 4 , (a, b, c, d) ̸= (0, 0, 0, 0) astfel încât a 2 + b 2 = 3(c 2 + d 2 ). 2. Se consideră n puncte S = {A1, A2, ..., An} dintr-un plan π ¸si n numere reale Λ = {λ1, λ2, ..., λn} astfel încât λ1 + λ2 + · · · + λn ̸= 0. Spunem că A ′ ∈ π este centrul de masă al sistemului (S, Λ) dacă există un punct O ∈ π astfel încât −−→ OA ′ λ1 −−→ λn −−→ = OA1 + · · · + OAn. λ1 + · · · + λn λ1 + · · · + λn i) Să se arate că dacă A ′ este centrul de masă al sistemului (S, Λ) atunci pentru orice punct M ∈ π are loc −−→ MA ′ λ1 = −−−→ MA1 + · · · + λn −−−→ MAn. λ1 + · · · + λn λ1 + · · · + λn Pentru un triunghi A1A2A3, considerăm λ1, λ2, λ3 ∈ R astfel încât |λ1|, |λ2| ¸si |λ3| reprezintă lungimile laturilor [A2A3], [A3A1] ¸si respectiv [A1A2]. ii) Să se arate că A ′ ∈ A1A2 este piciorul bisectoarei interioare (respectiv exterioare) a unghiuluiA3 dacă ¸si numai dacă A ′ este centrul de masă al sistemului ({A1, A2}, {λ1, λ2}), pentru o anume alegere a semnelor scalarilor λ1 ¸si λ2. iii) Să se arate că I ∈ π este centrul cercului înscris (respectiv centrul unui cerc exînscris) triunghiului A1A2A3 dacă ¸si numai dacă I este centrul de masă al sistemului ({A1, A2, A3}, {λ1, λ2, λ3}), pentru o anume alegere a semnelor scalarilor λ1, λ2 ¸si λ3. 53
Page 1 and 2:
Anul XII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 3:
Anul XII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 6 and 7: Mai întâi cu un număr restrâns
Page 8 and 9: Seminarul Matematic din Ia¸si - 10
Page 10 and 11: Amintiri de la Seminarul Matematic
Page 12 and 13: doream, să consult ¸si să împru
Page 14 and 15: copiere. Îmi amintesc că, în anu
Page 16 and 17: Rigla ¸si compasul Gabriel POPA 1
Page 18 and 19: plus, cum △P AB ¸si △QAB sunt
Page 20 and 21: ezultă că [AM] ≡ [BT ], deci [M
Page 22 and 23: O inegalitate ponderată cu medii G
Page 24 and 25: Aplicat¸ia 2. Fie a, b, p, q ∈ R
Page 26 and 27: Definit¸ia 3. Fie I1, I2 ⊂ R dou
Page 28 and 29: 3) Considerăm funct¸ia f : (0,
Page 30 and 31: Demonstrat¸ie. În (2), luând x1
Page 32 and 33: Din faptul că vn+2 vn+1 vn+1 vn=A
Page 34 and 35: Teorema poate fi demonstrată ¸si
Page 36 and 37: de unde, în urma unor calcule simp
Page 38 and 39: Aici avem a2b2 + t2 ≤ 6abt deoare
Page 40 and 41: Fie acum AiAjAkAl un trapez cu axa
Page 42 and 43: Remarque. detA(x, y, z, t) = x 2
Page 44 and 45: Si b divise v alors b divise u 2 ;
Page 46 and 47: coeficient¸i reali ¸si rădăcini
Page 48 and 49: În cazul |α| = √ a 2 + b 2 < 1
Page 50 and 51: Deoarece m(BΩA) = 180 ◦ − B
Page 52 and 53: S¸coala Normală ”Vasile Lupu”
Page 54 and 55: în localul ¸scolii, celelalte fii
Page 58 and 59: 3. Fie n ∈ N\0, 1} ¸si a1, a2, .
Page 60 and 61: Solut¸ie. Latura pătratului este
Page 62 and 63: V.108. Pe tablă sunt scrise numere
Page 64 and 65: Clasa a VII-a VII.102. În urma unu
Page 66 and 67: Solut¸ie. Se impune ca x ∈ R\{1,
Page 68 and 69: ¸si, cum tg A ∈ N, rezultă că
Page 70 and 71: X.97. Fie a, b, c ∈ C∗ numere c
Page 72 and 73: Solut¸ie. Considerăm B = 0 1 0 .
Page 74 and 75: =tgn−1 1 x · cos2 x + ctgn−1 1
Page 76 and 77: ) Cum suma ¸si diferent¸a au acee
Page 78 and 79: maximă când produsul xy este maxi
Page 80 and 81: Notă. Solut¸ie corectă, bazată
Page 82 and 83: În cazul în carea =0, concluzia e
Page 84 and 85: Clasele primare Probleme propuse 1
Page 86 and 87: VI.117. Fie I centrul cercului îns
Page 88 and 89: IX.107. Dacă a, b ∈ N∗ + 4b
Page 90 and 91: Probleme pentru pregătirea concurs
Page 92 and 93: Training problems for mathematical
Page 94 and 95: Pagina rezolvitorilor CRAIOVA Coleg
Page 96 and 97: • IMPORTANT În scopul unei legă
Page 98: CUPRINS Centenarul SEMINARULUI MATE
show all

x - Recreaţii Matematice

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?