x - Recreaţii Matematice

More documents

Recommendations

Info

3. Fie n ∈ N\0, 1} ¸si a1, a2, ..., an numere reale. Construim: s0 = −a1−a2−...−an; sm = a1 +a2 +...+am −(am+1 +am+2 +...+an), ∀m ∈ 1, n − 1; sn = a1 +a2 +...+an. Să se arate că există un m ∈ 0, n astfel încât |sm| ≤ max{|ak| | k ∈ 1, n}. Clasa a XI-a 1. Două sute de elevi participă la un concurs de matematică, la care se propun 6 probleme. După corectare, se observă că fiecare problemă a fost rezolvată corect de cel put¸in 120 de elevi (nu neapărat aceia¸si pentru fiecare problemă). Arătat¸i că se pot găsi doi participant¸i, astfel ca fiecare problemă să fi fost rezolvată de cel put¸in unul din cei doi. 2. i) Fie A = {a1, a2, ..., an} ⊆ Z ¸si f : A → A o funct¸ie bijectivă. Presupunând că a1 < a2 < ... < an ¸si că ai +f(ai) < aj +f(aj) pentru orice i < j, i, j ∈ {1, 2, ..., n}, să se arate că f = 1A. ii) Să se găsească o funct¸ie bijectivă f : Z →Z care satisface condit¸iile m + f(m) < n + f(n) pentru orice m < n, m, n ∈ Z, ¸si să fie diferită de 1Z. 3. Fie a ∈ (0, +∞). Într-un plan π, relativ la un sistem de coordonate carteziene xOy, considerăm dreapta de ecuat¸ie (δa) : y = ax. Fie Π = [0, 1) × [0, 1). a) Definim f : R × R → Π, f(x, y) = ({x}, {y}), unde prin { } am notat partea fract¸ionară. Să se arate că f este periodică, adică există T ∈ R astfel încât f(x + T, y + T ) = f(x, y) pentru orice (x, y) ∈ R × R. b) Considerăm restrict¸ia fa, a lui f la dreapta (δa). Să se arate că dacă a ∈ Q atunci fa este de asemenea periodică. Imaginea lui (δa) prin fa este o reuniune de segmente paralele cu direct¸ia lui (δa). c) Pentru a ∈ Q să se arate că numărul acestor segmente este finit. Vom nota cu N acest număr. d) Pentru a = 10 10 să se determine N. Cât este N pentru a = 2009 2010 ? e) Ce se poate spune despre imaginea lui (δa) prin aplicat¸ia fa când a este număr irat¸ional (de exemplu √ 2)? Clasa a XII-a 1. Fie A, B ∈ M(n, C) astfel încât A + B = In, A2 = A3 . Să se arate că: i) AB = BA; ii) In − AB ¸si In + AB sunt inversabile. 2. Se consideră funct¸ia f : (−1, +∞) → R , f(x) = √ 1 + x. i) Să se scrie ecuat¸ia tangentei y = ax + b la graficul funct¸iei f, în punctul x0 = 0. f(x) − 1 − ii) Să se determine valoarea a pentru care lim x→0 x 2 xa există ¸si este ̸= 0. iii) Arătat¸i că, pentru x ∈− 1 1 , loc inegalitatea:f(x) − 1 − 2 2are x 2 √ 2 . iv) Fie N numărul natural cu 2010 cifre, toate egale cu 1, adică N = 1111 . . . 11. 2010 cifre Determinat¸i primele 2010 zecimale ale numărului √ N. 3. Se cer valorile lui a ∈ R pentru care sistemul 2 |x| + |x| = y + x2 + a are o unică solut¸ie reală. x 2 + y 2 = 1 54 2≤ x2
Solut¸iile problemelor propuse în nr. 1/2009 Clasele primare P.164. Scrie vecinii vecinului comun al numerelor 16 ¸si 18. (Clasa I) Diana Tănăsoaie, elevă, Ia¸si Solut¸ie. Vecinii numărului 16 sunt numerele 15 ¸si 17, iar ai numărului 18 sunt numerele 17 ¸si 19. Vecinul comun este 17. Vecinii numărului 17 sunt 16 ¸si 18. P.165. După ce dau celor doi frat¸i mai mari câte două banane, mănânc ¸si eu trei banane. În co¸s îmi rămâne un număr de banane ce poate fi scris cu două cifre diferite ¸si care este cel mai mic număr de acest fel. Câte banane am avut în co¸s? (Clasa I ) Inst. Maria Racu, Ia¸si Solut¸ie. Numărul bananelor rămase în co¸s este 10. Numărul init¸ial de banane din co¸s este 2 + 2 + 3 + 10 = 17. P.166. Din cei 8 căt¸elu¸si albi ¸si negri, cel mult 3 sunt albi. Care este numărul maxim de căt¸elu¸si negri? Dar cel minim? (Clasa a II-a) Ioana Bărăgan, elevă, Ia¸si Solut¸ie. Deoarece avem căt¸elu¸si albi ¸si negri, cel put¸in un căt¸elu¸s este alb. Numărul maxim de căt¸elu¸si negri este 7. Cum cel mult 3 căt¸elu¸si sunt albi, cel put¸in 5 vor fi negri. P.167. Într-o cameră se joacă un pisoi cu doi pisici, un căt¸elu¸s care t¸ine în gură o păpu¸să ¸si un băiet¸el, călare pe un călut¸ de lemn. Câte picioare participă la joc? (Clasa a II-a) Alexandru Dumitru Chiriac, elev, Ia¸si Solut¸ie. La joc participă pisoiul cu cei doi pisici, căt¸elu¸sul ¸si băiet¸elul. În total participă la joc 4 + 4 + 4 + 4 + 2 = 18 picioare. P.168. Există numerele naturale a, b, c, d astfel încât a + b + c + d = 123 ¸si a : b = b : c = c : d = 1? (Clasa a III-a) Amalia Cantemir, elevă, Ia¸si Solut¸ie. Din a : b = b : c = c : d = 1, rezultă a = b = c = d. Concluzionăm că numărul 123 trebuie să se împartă exact la 4, ceea ce este fals. de 500 ori P.169. Calculează diferent¸a următoare, fără a efectua parantezele: (2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 1000) − (1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 999) = (Clasa a III-a) Mădălina Buc¸să, elevă, Ia¸si Solut¸ie. De la 1 la 1000 sunt 500 numere pare ¸si 500 numere impare. Exercit¸iul devine (2 − 1) + (4 − 3) + (6 − 5) + . . . + (1000 − 999) = 1 + 1 + 1 + . . . + 1 = 500. P.170. Doi frat¸i au cumpărat un teren în formă de pătrat pe care l-au împărt¸it în două dreptunghiuri egale. Fiecare dore¸ste să împrejmuiască propriul teren cu gard. Cât mai are de lucru fiecare, dacă primul a realizat 430 m, al doilea 470 m, iar perimetrul pătratului este de 1000 m? (Clasa a III-a) Drago¸s Iacob, elev, Ia¸si 55
Page 1 and 2:
Anul XII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 3:
Anul XII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 6 and 7:
Mai întâi cu un număr restrâns
Page 8 and 9: Seminarul Matematic din Ia¸si - 10
Page 10 and 11: Amintiri de la Seminarul Matematic
Page 12 and 13: doream, să consult ¸si să împru
Page 14 and 15: copiere. Îmi amintesc că, în anu
Page 16 and 17: Rigla ¸si compasul Gabriel POPA 1
Page 18 and 19: plus, cum △P AB ¸si △QAB sunt
Page 20 and 21: ezultă că [AM] ≡ [BT ], deci [M
Page 22 and 23: O inegalitate ponderată cu medii G
Page 24 and 25: Aplicat¸ia 2. Fie a, b, p, q ∈ R
Page 26 and 27: Definit¸ia 3. Fie I1, I2 ⊂ R dou
Page 28 and 29: 3) Considerăm funct¸ia f : (0,
Page 30 and 31: Demonstrat¸ie. În (2), luând x1
Page 32 and 33: Din faptul că vn+2 vn+1 vn+1 vn=A
Page 34 and 35: Teorema poate fi demonstrată ¸si
Page 36 and 37: de unde, în urma unor calcule simp
Page 38 and 39: Aici avem a2b2 + t2 ≤ 6abt deoare
Page 40 and 41: Fie acum AiAjAkAl un trapez cu axa
Page 42 and 43: Remarque. detA(x, y, z, t) = x 2
Page 44 and 45: Si b divise v alors b divise u 2 ;
Page 46 and 47: coeficient¸i reali ¸si rădăcini
Page 48 and 49: În cazul |α| = √ a 2 + b 2 < 1
Page 50 and 51: Deoarece m(BΩA) = 180 ◦ − B
Page 52 and 53: S¸coala Normală ”Vasile Lupu”
Page 54 and 55: în localul ¸scolii, celelalte fii
Page 56 and 57: 2. Fie triunghiul △ABC înscris
Page 60 and 61: Solut¸ie. Latura pătratului este
Page 62 and 63: V.108. Pe tablă sunt scrise numere
Page 64 and 65: Clasa a VII-a VII.102. În urma unu
Page 66 and 67: Solut¸ie. Se impune ca x ∈ R\{1,
Page 68 and 69: ¸si, cum tg A ∈ N, rezultă că
Page 70 and 71: X.97. Fie a, b, c ∈ C∗ numere c
Page 72 and 73: Solut¸ie. Considerăm B = 0 1 0 .
Page 74 and 75: =tgn−1 1 x · cos2 x + ctgn−1 1
Page 76 and 77: ) Cum suma ¸si diferent¸a au acee
Page 78 and 79: maximă când produsul xy este maxi
Page 80 and 81: Notă. Solut¸ie corectă, bazată
Page 82 and 83: În cazul în carea =0, concluzia e
Page 84 and 85: Clasele primare Probleme propuse 1
Page 86 and 87: VI.117. Fie I centrul cercului îns
Page 88 and 89: IX.107. Dacă a, b ∈ N∗ + 4b
Page 90 and 91: Probleme pentru pregătirea concurs
Page 92 and 93: Training problems for mathematical
Page 94 and 95: Pagina rezolvitorilor CRAIOVA Coleg
Page 96 and 97: • IMPORTANT În scopul unei legă
Page 98: CUPRINS Centenarul SEMINARULUI MATE
show all

x - Recreaţii Matematice

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?