x - Recreaţii Matematice

În cazul |α| = √ a 2 + b 2 < 1 avem 1/ √ a 2 + b 2 > 1, deci a doua paranteză este strict
pozitivă, ceea ce înseamnă că semnele valorilor φ(2kπ/n) pentru k întreg alternează.
Dacă alegem pentru k valorile 0, 1, . . . , n rezultă că funct¸ia continuă φ se anulează de
cel put¸in n ori în intervalul [0, 2π]: câte o dată în fiecare interval
2kπ
n
,
2(k + 1)π
, k = 0, 1, . . . , n − 1.
n
Asta înseamnă că F are cel put¸in n rădăcini distincte pe cercul unitate; dar, fiind o
funct¸ie polinomială de grad n, rezultă că are exact n asemenea rădăcini, sau că toate
rădăcinile sale au modulele egale cu 1.
Dacă |α| = 1, paranteza de mai sus devine
1 + cosθ − 2kπ n
¸si este, în general, nenegativă. Deoarece numerele θ − 2kπ
pentru k = 0, 1, . . . , n se
n
găsesc într-un interval de lungime 2π, pentru cel mult o valoare a lui k această expresie
este 0. Dacă asta se întâmplă, respectiva valoare a lui k furnizează o rădăcină a lui F
¸si, din cauza ei, se pierd cel mult două schimbări de semn în ¸sirul valorilor φ(2kπ/n),
deci oricum rămân n − 1 rădăcini de modul 1 pentru F de care putem fi siguri. Cum
produsul rădăcinilor lui F este 1 sau −1, cea de-a n-a rădăcină rezultă tot de modul
1 ¸si astfel se încheie ¸si această solut¸ie.
Despre care oricine va spune, probabil, că e mai complicată decît cea tradit¸ională
(nici n-am scris toate calculele!). Totu¸si, eu o consider mai instructivă ¸si (aici e partea
interesantă) mai productivă. Spun asta deoarece (cititorul atent probabil s-a întrebat
deja) apare în mod natural o chestiune adiacentă: dar dacă |α| > 1? Ce mai putem
spune despre modulele rădăcinilor ecuat¸iei z n + αz n−1 + αz + 1 = 0 în cazul în care
modulul lui α este mai mare ca 1? Deocamdată ne oprim aici, lăsându-vă cadou
următoarea întrebare:
Exercit¸iul 4. Dacă α este un număr complex, cu |α| > 1, se poate garanta existent¸a
unor rădăcini de modul 1 ale ecuat¸iei
Eu a¸s zice că da.
Bibliografie
z n + αz n−1 + αz + 1 = 0?
1. C. Nit¸ă, C. Năstăsescu, S. Popa – Algebră. Manual pentru clasa a X-a, Editura
Didactică ¸si Pedagogică, Bucure¸sti, 1980.
2. L. Panaitopol, I. C. Drăghicescu – Polinoame ¸si ecuat¸ii algebrice, Editura Albatros,
Bucure¸sti, 1980.
44