x - Recreaţii Matematice

3) Considerăm funct¸ia f : (0, ∞) → (0, ∞), definită prin f(x) = 1+x, ∀x ∈ (0, ∞).
Avem
f( √ xy) = 1 + √ xy ≤(1 + x)(1 + y) =f(x)f(y), ∀x, y ∈ (0, ∞),
deci funct¸ia f este (G, G) − J-convexă; rezultă că are loc inegalitatea lui Huygens
1 + n√ x1 · . . . · xn ≤ n(1 + x1) · . . . · (1 + xn), ∀x1, . . . , xn ∈ (0, ∞), ∀n ≥ 2.
4) În [2], inegalitatea lui Jensen generalizată este stabilită pentru funct¸ii (M, N)−
J-convexe, corespunzător unor clase largi de medii, care includ mediile cvasiaritmetice.
5) În [3], prin aplicarea directă a metodei din demonstrat¸ia Teoremei 1, am prezentat
demonstrat¸ii simple pentru inegalitatea mediilor ¸si pentru inegalitatea lui Huygens.
6) Inegalitatea (5) poate fi stabilită ¸si pe baza rat¸ionamentului lui Cauchy pentru
dovedirea inegalităt¸ii între mediile aritmetică ¸si geometrică. Propunem acest exercit¸iu
cititorului.
Bibliografie
1. C.P. Niculescu, L.E. Persson - Convex Functions and Their Applications, A
Contemporary Approach, CMS Books in Mathematics, vol. 23, Springer-Verlag, New
York, 2006.
2. C.P. Niculescu, F. Popovici - Inegalitatea lui Jensen pentru funct¸ii (M, N) − Jconvexe
în condit¸ii generale, va apare.
3. F. Popovici - Asupra inegalităt¸ii Jensen, Recreat¸ii Matematice, 1/2009, 12-14.
Răspuns la întrebarea de la pag. 20.
Notând cu x durata viet¸ii lui Diofant, din problemă rezultă următoarele: x
6 –
perioada copilăriei; x
x
– adolescent¸a; – perioada de dinainte de căsătorie; 5 ani
12 7
mai târziu i s-a născut fiul; x
– durata viet¸ii fiului; 4 ani au mai trecut până la
2
moartea sa. Ca urmare, pentru aflarea necunoscutei x trebuie să rezolvăm ecuat¸ia
x = x x x x
+ + + 5 + + 4.
6 12 7 2
Cum ecuat¸ia se scrie 3
x = 9, rezultă că Diofant a trăit 84 de ani.
28
24