x - Recreaţii Matematice

Solut¸ie. Pentru că m ∈ N, trebuie să avem că 2x+2 | 3x+5, de unde 2x+2 | 2(3x+
5) − 3(2x + 2), adică 2x + 2 | 4. Găsim că x ∈ {0, 1}; dacă x = 0, atunci m = 5
/∈ N,
2
iar dacă x = 1, atunci m = 2. Presupunând că 2 | a, s-ar obt¸ine că 2y + 5 = 6k, cu
y, k ∈ N, absurd (membrul stâng este impar, iar cel drept par). Pentru z = 2, avem
că b = 4, număr care se divide cu 2.
V.104. Scriet¸i numărul 2008 ca sumă de trei cuburi perfecte pare. (Găsit¸i toate
posibilităt¸ile!)
Veronica Plăe¸su ¸si Dan Plăe¸su , Ia¸si
Solut¸ie. Deoarece 2008 = 2 3 · 251, este destul să-l scriem pe 251 ca sumă de
trei cuburi perfecte. Cel mai mare dintre cele trei cuburi nu poate depă¸si 261 = 6 3 ,
deoarece 7 3 = 343 > 251. După o analiză a cazurilor posibile, găsim doar două situat¸ii
favorabile: 251 = 1 3 +5 3 +5 3 ¸si 251 = 2 3 +3 3 +6 3 . În concluzie, 2008 = 23 +10 3 +10 3 =
2 3 + 6 3 + 12 3 .
V.105. Se consideră numărul a = 7 + 7 2 + 7 3 + . . . + 7 2009 .
a) Demonstrat¸i că a nu poate fi pătrat perfect.
b) Aflat¸i restul împărt¸irii lui a la 400.
Damian Marinescu, Târgovi¸ste
Solut¸ie. a) Cum a se divide cu 7, dar nu ¸si cu 7 2 , înseamnă că nu poate fi pătrat
perfect.
b) Avem că a = 7 + 7 2 (1 + 7 + 7 2 + 7 3 ) + . . . + 7 2006 (1 + 7 + 7 2 + 7 3 ) = 7 + 400(7 2 +
. . . + 7 2006 ), deci restul împărt¸irii lui a la 400 este 7.
V.106. Să se determine numărul natural a ¸si cifra b, dacă (a+3)·200b = a·2009.
Enache Pătra¸scu, Foc¸sani
Solut¸ie. Cum 2009 = 7 2 · 41, rezultă că (a + 3) · 200b . .7 2 ¸si (a + 3) · 200b . .41.
Evident că b ≤ 8 (deoarece a + 3 > a), iar dintre numerele 2000, 2001, . . . , 2008,
nicunul nu se divide nici cu 72 , nici cu 41. Deducem că a + 3 . .7 ¸si a + 3 . .41, prin
urmare α + 3 = 287k. Înlocuind, obt¸inem că 200b · k = 7(287k − 3), de unde k(2009 −
200b) = 21. De aici, (k, b) ∈ {(21, 8); (7, 6); (3, 2)}, deci solut¸iile problemei sunt (a, b) ∈
{(6024, 8); (2006, 6); (858, 2)}.
O altă rezolvare se poate da încercând pentru b fiecare dintre valorile 0, 1, 2, . . . , 8;
se obt¸in astfel nouă ecuat¸ii simple, doar trei dintre acestea având solut¸ii naturale.
V.107. Dacă n ∈ N\{0, 1} este dat, determinat¸i x, y ∈ N∗ pentru care x(x + 2y +
1) = 2n · 135.
Petru Asaftei, Ia¸si
Solut¸ie. Dacă x = 2i , 1 ≤ i ≤ n − 1, atunci am avea că 2i + 2y + 1 = 2n−i · 135,
contradict¸ie (membrul stâng este impar, iar cel drept este par). Analog se arată că
nu putem avea x = 2i · p, unde 1 ≤ i ≤ n − 1, p ∈ D135\{1}. Rămâne că x = 2n · p,
cu p ∈ D135. Cum x < x + 2y + 1, trebuie cercetate doar cazurile în care p ∈ {1, 3, 5}.
Dacă x = 2n , obt¸inem că y = 67−2n−1 , iar y ∈ N∗ doar pentru n ≤ 7. Dacă x = 2n ·3,
atunci y = 22−3·2 n−1 , care este număr natural când n ≤ 3. În sfâr¸sit, dacă x = 2n ·5,
atunci y = 13−5·2 n−1 , solut¸ie convenabilă pentru n ≤ 2. În concluzie, obt¸inem 3, 2, 1
sau 0 perechi (x, y), după cum n = 2, n = 3, n ∈ {4, 5, 6, 7}, respectiv n ≥ 8.
57