x - Recreaţii Matematice
x - Recreaţii Matematice
x - Recreaţii Matematice
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Solut¸ie. Considerăm B =<br />
0 1 0 . . . 0<br />
0 0 1 . . . 0<br />
. . . . . . . . . . . . . .<br />
0 0 0 . . . 1<br />
1 0 0 . . . 0<br />
∈ Mk({0, 1}). Se constată<br />
că, pentru p ∈ {1, 2, . . . , k − 1}, avem că B p = (bij), unde b1,p+1 = b2,p+2 = . . . =<br />
bk−p,p = 1, bk−p+1,1 = bk−p+2,2 = . . . = bk,p = 1, iar bij = 0 în rest. În plus, Bk = Ik.<br />
Atunci, matricea A =B 0<br />
0 In−kverifică cerint¸ele problemei.<br />
XI.98. Demonstrat¸i că funct¸ia f :0, π<br />
− cos x<br />
f(x) = ln1<br />
2→R,<br />
1 + cos x este<br />
concavă ¸si, folosind eventual acest lucru, arătat¸i că în orice triunghi ascut¸itunghic<br />
1 − cos A 1 − cos B 1 − cos C 1<br />
ABC are loc inegalitatea · · ≤<br />
1 + cos A 1 + cos B 1 + cos C 27 .<br />
Bogdan Victor Grigoriu, Fălticeni<br />
Solut¸ie. Funct¸ia f este de două ori derivabilă, iar f ′′ cos x<br />
(x) = −<br />
sin 2 < 0, ∀x ∈<br />
0,<br />
x π<br />
prin urmare f este concavă. Aplicând inegalitatea lui Jensen, obt¸inem că<br />
2,<br />
≥<br />
+ B + C<br />
fA<br />
3<br />
1<br />
[f(A) + f(B) + f(C)], deci<br />
3<br />
− cos<br />
ln1 π<br />
3<br />
1 + cos π ≥<br />
3<br />
1<br />
3 ln1 − cos A 1 − cos B 1 − cos C<br />
· ·<br />
1 + cos A 1 + cos B 1 + cos C,<br />
rezultă imediat din monotonia funct¸iei logaritmice.<br />
Nota autorului. În aceea¸si manieră se poate demonstra că, în orice triunghi<br />
1 − sin A 1 − sin B 1 − sin C<br />
ABC, are loc inegalitatea · ·<br />
1 + sin A 1 + sin B 1 + sin C ≤<br />
1<br />
(2 + √ .<br />
3) 6<br />
XI.99. Studiat¸i convergent¸a ¸sirului (vn)n≥1 definit prin vn+1 = (vc n + d) 1/c<br />
∀n ≥ 1, unde v1, c ¸si d sunt numere reale pozitive date.<br />
Gheorghe Costovici ¸si Adrian Corduneanu, Ia¸si<br />
Solut¸ie. Vom demonstra că lim<br />
n→∞ vn<br />
+<br />
= l, unde l =1 √ 1/c<br />
1 + 4d<br />
. Dacă<br />
2<br />
v1 = l, se demonstrează prin induct¸ie matematică faptul că vn = l, ∀n ≥ 1. În cazul<br />
în care v1 ∈ (0, l), se arată (tot prin induct¸ie) că v2n−1 ∈ (0, l) ¸si v2n ∈ (l, +∞),<br />
∀n ∈ N∗ , apoi că sub¸sirul (v2n−1)n≥1 este strict crescător, în timp ce (v2n)n≥1 este<br />
strict descrescător. Urmează că există ¸si sunt finite α = lim<br />
n→∞ v2n−1, β = lim<br />
n→∞ v2n ¸si,<br />
prin trecere la limită în relat¸iile de recurent¸ă, obt¸inem că α = (βc + d) 1/c<br />
, iar β =<br />
β<br />
(αc + d) 1/c<br />
. De aici, α =α<br />
α<br />
c + d<br />
αc + d1/c<br />
: (αc + d) 1/c<br />
, deci α<br />
α<br />
c = αc + d + dαc αc ,<br />
+ d<br />
prin urmare α2c − αc − d = 0, de unde găsim că α = l. Asemănător se arată că β = l.<br />
În sfâr¸sit, analog se tratează cazul în care v1 ∈ (l, +∞).<br />
68<br />
vn<br />
,
Change language