x - Recreaţii Matematice

coeficient¸i reali ¸si rădăcini complexe nereale, rezultă că z1 ¸si z2 sunt conjugate, deci,
având produsul 1, au modulele egale cu 1; similar, z3 ¸si z4 au aceea¸si proprietate ¸si
Problema 1 este rezolvată.
Exercit¸iul 1. Completat¸i detaliile acestei rezolvări!
Nu vă va fi greu să demonstrat¸i că y1 ¸si y2 sunt numere reale. Ca să dovedit¸i că
∆1 = y 2 1 − 4 < 0 ¸si ∆2 = y 2 2 − 4 < 0 arătat¸i că ∆1 + ∆2 < 0 ¸si ∆1∆2 > 0. Folosit¸i
relat¸iile între rădăcini ¸si coeficient¸i!
Exercit¸iul 2. Deducet¸i următorul rezultat, o idee mai general decât Problema 1:
Problema 1 ′ . Dacă α este un număr real oarecare, atunci ecuat¸ia
z 4 + αz 3 + αz + 1 = 0
are ori două rădăcini de modul 1, ori toate rădăcinile de modul 1.
2. Anii au trecut ¸si am găsit, în [2] la pagina 137, problema 147 (¸si solut¸ia ei la
pagina 290). Enunt¸ul este următorul (u¸sor modificat de noi, dar numai formal):
Problema 2. Fie α un număr real cu |α| ≤ 1 ¸si n un număr natural, n ≥ 3.
Ecuat¸ia
z n + αz n−1 + αz + 1 = 0
are toate rădăcinile de modul 1.
E vorba, evident, de cazul general al Problemei 1; metoda utilizată mai sus nu
prea dă sperant¸e de a obt¸ine această generalizare, dar, cum spuneam, există solut¸ia
în [2]. Tot o solut¸ie algebrică, dar utilizând subtil (¸si elegant) proprietăt¸ile modulului
¸si conjugatului unui număr complex.
Examinând cu atent¸ie această solut¸ie constatăm că ea se potrive¸ste la fel de bine
următorului enunt¸:
Problema 2 ′ . Fie α un număr complex cu |α| ≤ 1 ¸si n un număr natural, n ≥ 3.
Ecuat¸ia
(2) z n + αz n−1 + αz + 1 = 0
are toate rădăcinile de modul 1.
Solut¸ie. Fie z o rădăcină a ecuat¸iei, pentru care avem z n−1 (z + α) = −αz − 1,
deci ¸si
|z| 2(n−1) |z + α| 2 = |αz + 1| 2 .
Un calcul simplu (care utilizează |w| 2 = ww ¸si proprietăt¸ile conjugatului unui număr
complex) ne arată că putem să înlocuim |αz + 1| 2 cu |z + α| 2 − (|z| 2 − 1)(1 − |α| 2 ),
astfel că egalitatea de mai sus se mai scrie
(|z| 2(n−1) − 1)|z + α| 2 + (|z| 2 − 1)(1 − |α| 2 ) = 0.
Evident, dacă |α| < 1, de aici rezultă |z| = 1. Dacă |α| = 1, ne rămâne egalitatea
(|z| 2(n−1) − 1)|z + α| 2 = 0,
42