x - Recreaţii Matematice

Solut¸iile problemelor pentru pregătirea
concursurilor propuse în nr. 1/2009
A. Nivel gimnazial
G156. Dacă a, b, c ∈ R∗ +, 1
a
b2 + 1 c
√ +
b2 − b + 1 2 + 1
√ ≥ 6.
c2 − c + 1
+ 1
b
+ 1
c
≤ 3, demonstrat¸i că
a 2 + 1
√ a 2 − a + 1 +
I.V. Maftei, Bucure¸sti ¸si Mihai Haivas, Ia¸si
a
Solut¸ia I (a autorilor). Observăm că
2 + 1
√ =
a2 − a + 1 √ a2 a
− a + 1+ √ ≥
a2 − a + 1
2 √ a, ∀a ∈ R ∗ + ¸si analog pentru celelalte două fract¸ii ale sumei din membrul stâng.
Rezultă că această sumă este cel put¸in egală cu 2( √ a + √ b + √ c). Pe de altă parte,
√ a ≥ 2a
1 + a
(inegalitatea MG ≥ MH, aplicată numerelor a ¸si 1), deci
2( √ a + √ b + √ c) ≥ 4
≥ 36 ·
1+a
a
1
+ 1+b
b
+ 1+c
c
a b c
+ +
1 + a 1 + b 1 + c≥
=
36
3 + 1 1 1
a + b + c
≥ 36
= 6,
3 + 3
de unde inegalitatea din enunt¸.
Solut¸ia a II-a (Oana Adăscălit¸ei ¸si Florina Toma, eleve, Ia¸si). Vom
face aceea¸si demonstrat¸ie în doi pa¸si, cu alte argumente. Cuma(a 2 − a + 1) ≤
a + a 2 − a + 1
2
= a2 + 1
, atunci
2
1
a(a 2 − a + 1) ≥
2
a2 , deci
+ 1
a 2 + 1
√ a 2 − a + 1 ≥
2 √ a ¸si încă două inegalităt¸i similare. Apoi, din inegalitatea C-B-S, obt¸inem că
1
√a + 1 √ b + 1 √ c2
1 1
≤1
+ + + 1 + 1), de unde
a b c(1
1
√ a + 1 √ b + 1 √ c ≤ 3.
Însă1
√a + 1 √ b + 1 √ c( √ a + √ b + √ c) ≥ 9, prin urmare √ a + √ b + √ c ≥ 3 ¸si astfel
rezultă inegalitatea din enunt¸.
G157. Spunem că un număr natural are proprietatea (P) dacă se poate scrie ca
sumă a trei pătrate perfecte nenule ¸si că are proprietatea (Q) dacă se poate scrie ca
sumă a patru pătrate perfecte nenule.
a) Dat¸i exemple de numere naturale care au: numai proprietatea (P ); numai
proprietatea (Q); atât proprietatea (P ) cât ¸si proprietatea (Q).
b) Dacă a, b, c ∈ N ∗ au suma pară ¸si oricare dintre ele este diferit de suma celorlaltor
două, demonstrat¸i că numărul a 2 + b 2 + c 2 are proprietatea (Q).
Ovidiu Pop, Satu Mare
Solut¸ie. a) 6 = 1 2 + 1 2 + 2 2 are numai proprietatea (P ), 7 = 1 2 + 1 2 + 1 2 + 2 2 are
numai proprietatea (Q), iar 30 = 1 2 + 2 2 + 5 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 are ¸si proprietatea
(P ), ¸si proprietatea (Q).
71