základy procesního inženýrství - Vysoká škola báňská - Technická ...

22
3 Hydromechanické operace
Bilance hmoty pro tekutinu v pohybu
Jestliže v tekutině existují oblasti, v nichž je hodnota součtu ρgh+p různá, začne probíhat samovolný
proces, při němž se tyto hodnoty snaží vyrovnávat. Zpravidla je to spojeno s přeskupováním tekutiny,
s prouděním. Proudění kapaliny z bodu 1 do bodu 2 si můžeme znázornit proudovou trubicí. Její stěnu
tvoří proudnice, čáry po kterých se pohybují částice kapaliny. Kapalina do této proudové trubice
vstupuje průřezem o ploše S 1 a vystupuje průřezem S 2 . Hmotnost kapaliny, která vstupuje za jednotku
času – hmotnostní průtok m‘ 1 /(kg/s) do proudové trubice je roven m‘ 1 = ρ 1 S 1 u 1 , hmotnostní průtok
z proudové trubice je m‘ 2 = ρ 2 S 2 u 2 Jestliže je proudění ustálené, pak nedochází k akumulaci hmoty a
musí platit konstantnost hmotnostního průtoku
m‘= ρ 1 S 1 u 1 = ρ 2 S 2 u 2 .
nebo jednoduše
ρ S u = konst. (3-1)
Tento vztah vyjadřuje zákon o zachování hmotnosti v proudící tekutině a nazýváme jej rovnice
kontinuity. Při proudění kapalin, ale i plynů v případě malých změn tlaku (to však neplatí např.
v dálkových plynovodech) můžeme obvykle předpokládat, že ρ 1 = ρ 2 = ρ = konst. Pak z rovnice
kontinuity vyplývá také konstantnost objemového průtoku V‘ /(m 3 /s)
V‘= S 1 u 1 = S 2 u 2
pro ρ = konst.
S u = konst. pro ρ = konst. (3-1a)
Jednoduše řečeno: dané množství tekutiny protéká větším průřezem pomaleji, menším průřezem
rychleji. Proudová trubice může být vymezena např. i stěnami zařízení, pak plochy S 1 a S 2 jsou známé.
Bilance energie. Bernoulliho rovnice
Do proudové trubice vtéká objemový průtok S 1 u 1 , na jednotku jehož objemu je vázána mechanická
energie e 1 ≡ ρ 1 g h 1 + ½ ρ 1 u 1
2
+ p 1 . Odpovídající množství energie vytéká koncovým průřezem.
Bilance mechanické energie v proudové trubici je
akumulace = přítok + zdrojem dodávaná energie – odebíraná energie – přeměna energie na
jiné druhy – odtok.
Velice často sledujeme úsek proudění, ve kterém se nedodává energie, neztrácí se významné
množství energie ani nedochází k akumulaci. Pak se bilance zjednoduší na rovnost přítok= odtok a
matematicky je vyjádřena Bernoulliho rovnicí
ρ 1 g h 1 + ½ ρ 1 u 1
2
+ p 1 = ρ 2 g h 2 + ½ ρ 2 u 2
2
+ p 2
nebo jednoduše
ρ g h + ½ ρ u 2 + p = konst. (3-2)
Úroveň mechanické energie se dá vyjádřit společně např. jako ekvivalentní tlak p ekv
p ekv = ρ g (h-h 0 ) + ½ ρ u 2 + p
nebo jako ekvivalentní výška
2
u ( p − p0
)
h ekv = ( h − h0
) + + ,
2 g ρ g
přičemž h ekv je výška nepohyblivé hladiny nad zvolenou hladinou h 0 , kam by z daného místa
vystoupala tekutina do nějakého standardního tlaku p=p 0 , p ekv je tlak, který bychom naměřili ve
spojené nádobě na zvolené geodetické výšce h=h 0 .
Pak se Bernoulliho rovnice v soustavě bez akumulace dá zapsat také jako
p ekv = konst.
nebo
h ekv = konst.
Máme-li dva systémy, v nichž jsou rozdílné hodnoty p ekv , pak po jejich propojení dojde k
samovolnému proudění z místa o vyšším p ekv do místa o nižším p ekv . Hnací silou tohoto proudění je
rozdíl těchto hodnot, označovaný jako ∆p. Tam, kde se významně uplatňuje působení tíže, dáváme
často přednost druhému způsobu a konstatujeme, že proudění probíhá z místa o vyšším h ekv a
alternativně pokládat za hnací sílu ∆h.
Akumulace energie v proudové trubici připadá v úvahu především tam, kde se v čase výrazně mění
rychlost tekutiny a tedy kinetická energie. Jedním z technologicky důležitých případů je rozběh