základy procesního inženýrství - Vysoká škola báňská - Technická ...

4 Sdílení tepla
Odvození základního vztahu pomocí diferenciální bilance
Diferenciální bilanci provádíme obecně pro element plochy ∆S za element času ∆t a souhrnně to
označíme ∆(S t). Protože předpokládáme, že součinitel průchodu tepla k je pro daný případ konstantní,
platí podle vztahu (30)
∆Q
= −k
( T A
− T B
)
(4-61)
∆(
S t)
Danému ∆(S t) odpovídají změny ∆T A , ∆T B teplot obou látek (změny za časový element ∆ t nebo
během průchodu okolo elementu plochy ∆S ). Teplo ∆Q převáděné z látky A na látku B se projevuje
pro látku A o hmotnosti m A a tepelné kapacitě c PA změnou teploty
∆TA
−1
∆Q
=
(4-62)
∆( S t)
mA
cPA
∆(
S t)
a podobně pro látku B
∆TB
1 ∆Q
=
(4-63)
∆( S t)
mB
cPB
∆(
S t)
Spojením vztahů (4-61)-( 4-63) tak, abychom vyloučili ∆Q a následným převedením diferencí na
diferenciály dostaneme rovnici
d( TA
− TB
) ⎛ 1 1 ⎞
= −k
( S t)
TA
T
⎜ ± d
B
mA
cPA
mB
c
⎟ , (4-64)
− ⎝
PB ⎠
ve které znaménko – použijeme jen tehdy, když tekutiny A a B tečou kolem plochy S protiproudně.
Její integrací přes plochu S a čas t obdržíme výsledek
( TA
−TB
) ⎛
( ) ⎟ ⎞
2
1 1
ln = −k
S t
⎜ ±
(4-65)
TA
− TB
⎝ mA
cPA
mB
c
1
PB ⎠
kde v případě průtočného výměníku je teplotní rozdíl mezi látkou A a B (T A - T B ) 1 na té straně
výměníku, od které integrujeme plochu a (T A - T B ) 2 na druhé straně; v ostatních případech jde o
teplotní rozdíly na počátku a na konci procesu.
Celková bilance tepla
Na celé ploše zařízení za celý čas se přenese z B do A množství tepla Q, které je rovno
− Q
TA
2
− TA
1
=
(4-66a)
m c
A
PA
± Q
TB
2
− TB
1
=
mB
cPB
(znaménko „–“ platí pro protiproud) (4-66b)
Pro ustálené proudění, kde známe hmotnostní průtoky použijeme bilanci za jednotku času
− Q′
TA
2
− TA
1
=
m′
A
cPA
(4-66´a)
± Q′
TB
2
− TB
1
=
m′
B
cPB
(znaménko „–“ platí pro protiproud) (4-66´b)
Spojením (4-65) a (4-66) a úpravou dostaneme po zavedení veličiny
( TA
− TB
) − ( T )
2 A
− TB
1
< TA
− TB
> ≡
( TA
− TB
)
ln
T − T
(4-67)
( ) 1
2
A
B
klíčový vztah
Q k S t < T A
− T >
(4-68)
=
B
96