Matemaatiline analüüs I

Näide 6. Leiame funktsiooni y = ln(1 + x) jaoks n-järku Maclaurini valemi. Et
f(x) = ln(1 + x), f(0) = 0,
f ′ (x) = (1 + x) −1 , f ′ (0) = 1 = (−1) 2 · 0!,
f ′′ (x) = (−1) (1 + x) −2 , f ′′ (0) = −1 = (−1) 3 · 1!,
· · · · · ·
f (k) (x) = (−1)(−2) · · · (−k + 1) (1 + x) −k , f (k) (0) = (−1) k+1 (k − 1)!,
siis valemi 1.19.2 abil saame:
ln(1 + x) =
n∑
(−1) k+1 x k
k + R n(x). ♦ (1.19.8)
k=1
Skitseerime funktsiooni ln(1 + x) ja selle funktsiooni Maclaurini polünoomide M n (x)
(n = 1; 2; 3) graafikud lõigul [−.99; 2], kusjuures ln (1 + x) graafik on esitatud jämeda
joonega
2
1
­0.5 0.5 1x
1.5 2
0
­1
2
1
­0.5 0.5 1x
1.5 2
0
­1
2
1
­0.5 0.5 1x
1.5 2
0
­1
­3
­4
n=1
­3
­4
n=2
­3
­4
n=3
Näide 7. Leiame funktsiooni y = (1 + x) α (α ∈ R\{0}) jaoks n-järku Maclaurini
valemi.
Et
f(x) = (1 + x) α , f(0) = 1,
f ′ (x) = α(1 + x) α−1 , f ′ (0) = α,
f ′′ (x) = α(α − 1)(1 + x) α−2 , f ′′ (0) = α(α − 1),
· · · · · ·
f (k) (x) = α(α − 1) · · · (α − k + 1)(1 + x) α−k , f (k) (0) = α(α − 1) · · · (α − k + 1),
siis valemi 1.19.2 abil saame:
n∑
(1 + x) α α(α − 1) · · · (α − k + 1)
= 1 +
x k + R n (x).
k!
♦ (1.19.9)
k=1
Skitseerime funktsiooni
3√ 1 + x ja selle funktsiooni Maclaurini polünoomide Mn (x)
(n = 1; 2; 3) graafikud lõigul [−1; 2], kusjuures
3√ 1 + x graafik on esitatud jämeda
101