Matemaatiline analüüs I

116. y = xe −x2 /2 (0 ≤ x < +∞) ja selle asümptoot. V: S = 1.
Ülesannetes 117-124 leida kaare pikkus.
(√ √ ) ∫ √ √
8
117. y = ln x 3 ≤ x ≤ 8 . V: s = √
3
√1 + (y ′ ) 2 3
dx = 1 + ln
2 .
118. y = ln ( (
1 − x 2) 0 ≤ x ≤ 1 )
. V: s = ln 3 − 1 2
2 .
( x
) 2/3 ( y
) { 2/3 x = a cos
119.
3 ϕ
+ = 1 ⇔
a a
y = a sin 3 (0 ≤ ϕ ≤ 2π) .
ϕ
√ (
V: s = 4 ∫ ) 2
π/2 dx
+
0
dϕ
{ x = a cos
120.
5 t
y = a sin 5 t
( dy
dϕ
) 2
dϕ = 6a.
(0 ≤ t ≤ 2π) . V: s = 5a
(
1 + 1 6√
3 ln
(
2 +
√
3
) ) .
0.6
121.
⎧
⎨
x = t 2
⎩ y = t − t3
( √ 3√ )
− 3 ≤ t ≤ 3
. V: s = 4 √ 3.
0.4
0.2
0
­0.2
­0.4
­0.6
1 2 3 4
.
122. ρ = a (1 + cos ϕ) ⇔
123. ρ = a sin 3 ϕ 3 ⇔ ⎧
⎨
⎩
{ x = a (1 + cos ϕ) cos ϕ
y = a (1 + cos ϕ) sin ϕ
x = a sin 3 ϕ 3 cos ϕ
. V: s = 8a.
y = a sin 3 ϕ 3 sin ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 3π) . V: s = 3 2 πa.
124. ρ = aϕ (0 ≤ ϕ ≤ 2π) . V: s = aπ √ (4π 2 + 1) + 1 2 a ln ( 2π + √ 1 + 4π 2) .
Ülesannetes 125–128 leida pöördkeha ruumala, kui keha tekkib järgmiste joontega
piiratud kujundi pöörlemisel ümber x-telje.
125. y = ch x, y = 0, x = −1, x = 1. V: V = π (1 + (sh 2) /2) .
126. y = x 2 , y 2 = x. V: V = 3
10 π.
127. y = 2x − x 2 , y = 0. V: V = 16
⎧
15 π.
⎨ x = a (t − sin t)
(0 ≤ t ≤ 2π)
128. y = a (1 − cos t)
.
⎩
y = 0
V: V = π ∫ 2π
a 2 (1 − cos t) 2 a (1 − cos t) dt = 5π 2 a 3 .
0
129. Leida pöördkeha, mis tekib ringjoonega ρ = sin ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π) piiratud ringi
pöörlemisel ümber polaartelje, ruumala.
V: V = π2
4 .
Ülesannetes 130–134 leida joone pöörlemisel ümber x-telje tekkiva pöördpinna pindala.
130. y = x 3 /3 (0 ≤ x ≤ 1) . V: S = 2π ∫ 1
√1
0 y + (y ′ ) 2 dx = π ( √ )
2 2 − 1 .
9
221