Matemaatiline analüüs I

= 2 ( 5
3 arctan 3 tan 1 2 x + 4 )
+ C. ♦
3
Et üldine trigonomeetriline asendus taandab tavaliselt integraali ∫ R(cos x, sin x) dx
leidmise suhteliselt keeruka ühe muutuja ratsionaalfunktsiooni integreerimisele, on otstarbekam
teatud lisatingimuste täidetuse korral kasutada vastavalt muutujate vahetusi
t = tan x, t = cos x või t = sin x. Seega sõltub muutujate vahetus ratsionaalfunktsiooni
R(u, v) kujust.
II Muutujate vahetus t = tan x
Kui R(−u, −v) = R(u, v), siis
R(u, v) = R
(u, v ) (
u u = R 1 u, v )
,
u
kusjuures
(
R 1 −u, v ) (
= R 1 −u, −v ) (
= R (−u, −v) = R(u, v) = R 1 u, v )
,
u
−u
u
st funktsioon R 1 (x, y) on paarisfunktsioon muutuja x suhtes, mis tähendab, et
R 1 (x, y) sisaldab vaid muutuja x paarisastmeid. Seega
ja
∫
R(cos x, sin x) = R(cos x, sin x
cos x cos x) = R 1(cos x, tan x) = R 2 (cos 2 x, tan x) =
cos 2 x
= R 2 (
cos 2 x + sin 2 x , tan x) = R 1
2(
1 + tan 2 x , tan x) = R 3(tan x)
R(cos x, sin x)dx R(−u,−v)=R(u,v)
=
∫
= R 3 (t)
[
t = tan x ↔ x = arctan t ⇒ dx =
dt ]
1 + t 2 =
∫
dt
1 + t 2 = R 4 (t)dt
ning juhul R(−u, −v) = R(u, v) on otstarbekas muutujate vahetus t = tan x.
Näide 4. Leiame määramata integraali
∫
dx
cos x · sin 3 x .
Sel korral R(u, v) = 1/(uv 3 ) ja
ning
∫
1
R(−u, −v) =
(−u) (−v) 3 = 1 = R(u, v)
uv3 ∫ (
dx
cos 2
cos x · sin 3 x = x + sin 2 x ) 2 ∫ ( dx 1
cos x · sin 3 =
x
tan 3 x + 2 1 )
tan x + tan x dx =
158