Matemaatiline analüüs I

( 1
= lim
n→∞ 1 − 1 )
= 1. ♦
n + 1
Näide 9.
lim
n→∞
3 n − 1 ∞
=
3 n + 1
[: ∞ 3n ] = lim
n→∞
1 − 1/3 n
1 + 1/3 n 1
=1 1. ♦
1.4. Arv e
Arv e defineeritakse kui piirväärtus
(
e def
= lim 1 + 1 n
.
n→+∞ n)
Vaatleme jada {x n }, kus
x n =
(
1 + 1 n) n
.
Leiame, et
=
x n =
(
[
1 +
n) 1 n
= (a + b) n =
n∑
Cna k n−k b k =
k=0
]
n∑
Cna k k b n−k =
n∑
( k ( ) 0 ( ) 1 ( ) k ( ) n 1 1 1 1 1
Cn1 n) k n−k = Cn
0 + Cn
1 + . . . + Cn
k + . . . + Cn
n =
n n
n
n
k=0
=
(
1+ 1 1 − 1
1! + n
2!
[
C k n =
+. . .+
n!
k!(n − k)!
k=0
]
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
= , Cn 0 = 1 =
k!
= 1 + n 1! · 1 n(n − 1) · · · (n − k + 1) 1 n(n − 1) · · · 1
+ . . . + · + . . . + ·
n k!
nk n!
) (
1 − 1 ) (
· · · 1 − k − 1 ) (
1 − 1 )
· · ·
n
n
n
+. . .+
k!
n!
≤ 1 + 1 1! + 1 2! + . . . + 1 k! + . . . + 1 [ 1
n! ≤ k! ≤ 1
2 k−1 ]
(k ∈ N) ≤
≤ 1 + 1 + 1 2 + . . . + 1
2 k−1 + . . . + 1 ≤ 3.
2n−1 1
n n =
(
1 − n − 1
n
Seega on jada {x n } ülalt tõkestatud. Võrdleme liikmeid x n ja x n+1 , st suurusi
)
≤
n∑
( ) k 1
1 n−k ja
n
Cn
k
k=0
∑
n+1
Cn+1
k
k=0
( ) k 1
1 n+1−k .
n + 1
40