Matemaatiline analüüs I

kus Π 1 on lõigu [a, c] tükeldus punktidega x 0 , x 1 , . . . , x k−1 , c ja Π 2 on lõigu [c, b]
tükeldus punktidega c, x k , . . . , x n−1 , x n . Lause 2 põhjal saame
f(x) ∈ I [a, c] ⇒ f(x) = O (1) (x ∈ [a, c]) ,
f(x) ∈ I [c, b] ⇒ f(x) = O (1) (x ∈ [c, b]) ,
millest järeldub f(x) = O (1)
(x ∈ [a, b]) . Et
max
i
lim S Π 1
(f) =
∆x i→0
∫ c
a
f(x)dx
ja
ning
siis
max
i
max
i
lim S Π 2
(f) =
∆x i→0
∫ b
c
f(x)dx
lim (f(ξ k) − f(c)) ∆x k = 0,
∆x i→0
∫ b
a f(x)dx =
max
i
lim S Π (f) =
∆x i→0
= lim (S Π 1
(f) + S Π2 (f) + (f(ξ k ) − f(c)) ∆x k ) =
∆x i→0
max
i
= lim S Π 1
(f) + lim S Π 2
(f) + lim (f(ξ k) − f(c)) ∆x k =
max ∆x
i i→0 max ∆x
i i→0 max ∆x
i i→0
c∫
b∫
c∫
b∫
= f(x)dx + f(x)dx + 0 = f(x)dx + f(x)dx.
Seega on Lause 5 tõene.
a
□
Märkus 2. Saab näidata (vt [5], lk 357–358), et
c
(a < c < b) ∧ f(x) ∈ I [a, b] ⇒ f(x) ∈ I [a, c] ∧ f(x) ∈ I [c, b] .
a
c
Definitsioon 2. Funktsiooni f(x) nimetatakse tükati monotoonseks lõigul [a, b] ,
kui see lõik on jaotatav lõplikuks arvuks osalõikudeks, millel f(x) on monotoonne.
Märkus 3. Lausest 5 ja Märkusest 1 järeldub, et lõigul tükati monotoonne funktsioon
on sel lõigul integreeruv.
Lause 6. Kui a < b, siis
(f(x), g(x) ∈ I [a, b] ) ∧ (f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b]) ⇒
⇒
∫ b
a
f(x)dx ≤
∫ b
a
g(x)dx.
180