Matemaatiline analüüs I

More documents

Recommendations

Info

Märkus 1. Lause 1 ei ole pööratav, nimelt funktsiooni f(x) rangelt monotoonsusest punktis x ei järeldu, et f ′ (x) ≠ 0. Näiteks, funktsioon y = x 3 on rangelt kasvav punktis x = 0, kuigi f ′ (0) = 0. Definitsioon 3. Öeldakse, et funktsioonil f(x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < |∆x| < δ ⇒ ∆y ≤ 0. Definitsioon 4. Öeldakse, et funktsioonil f(x) on punktis x lokaalne miinimum, kui leidub selline arv δ > 0, et 0 < |∆x| < δ ⇒ ∆y ≥ 0. Kui Definitsioonis 3 asendada tingimus ∆y ≤ 0 tingimusega ∆y < 0, siis saame range lokaalse maksimumi mõiste. Kui Definitsioonis 4 asendada tingimus ∆y ≥ 0 tingimusega ∆y > 0, siis saame range lokaalse miinimumi mõiste. Definitsioon 5. Öeldakse, et funktsioonil f(x) on punktis x lokaalne ekstreemum, kui funktsioonil f(x) on punktis x kas lokaalne miinimum või lokaalne maksimum. Definitsioon 6. Öeldakse, et funktsioonil f(x) on punktis x range lokaalne ekstreemum, kui funktsioonil f(x) on punktis x kas range lokaalne miinimum või range lokaalne maksimum. Lause 4 (Fermat’ teoreem). Kui funktsioonil f(x) on punktis x lokaalne ekstreemum ja funktsioon f(x) on diferentseeruv punktis x, siis funktsiooni tuletis selles punktis on null, st f ′ (x) = 0. Tõestus. Olgu selles punktis x väitevastaselt f ′ (x) ≠ 0. Seega f ′ (x) > 0 või f ′ (x) < 0 ja Lause 3 põhjal on funktsioon f(x) selles punktis x vastavalt kas rangelt kasvav või rangelt kahanev ning järelikult ei ole sel funktsioonil selles punktis x lokaalset ekstreemumit. See vastuolu on tingitud väitevastasest eeldusest. Järelikult f ′ (x) = 0. □ Märkus 2. Lause 4 ei ole pööratav. Nimelt, tingimusest f ′ (x) = 0 ei järeldu, et punktis x on lokaalne ekstreemum. Näiteks funktsiooni f(x) = x 3 korral f ′ (0) = 0, kuid punktis x = 0 ei ole sel funktsioonil lokaalset ekstreemumit (funktsioon on selles punktis rangelt kasvav). 1.16. Keskväärtusteoreemid Vaatleme järgnevalt teoreeme, mida matemaatilises <strong>analüüs</strong>is nimetatakse keskväärtusteoreemideks. Need teoreemid annavad aluse paljudele tuletise rakendustele. Lause 1 (Rolle’i teoreem). Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, b) ning f(a) = f(b), siis vahemikus (a, b) leidub selline punkt c, et f ′ (c) = 0, st f(x) ∈ C[a, b] ∩ D(a, b) ∧ f(a) = f(b) ⇒ ∃c ∈ (a, b) : f ′ (c) = 0. 88
Tõestame esiteks selle väite lisatingimusel f(a) = f(b) = 0. Et lõigul pidev funktsioon omandab sel lõigul ekstremaalsed väärtused (vt Lauset 1.9.3), siis leiduvad sellised punktid c 1 , c 2 ∈ [a, b], et f(c 1 ) = max x∈[a,b] f(x), f(c 2) = min x∈[a,b] f(x). Kui nii c 1 kui ka c 2 on lõigu otspunktid, siis f(x) on konstantne lõigul ja punktiks c sobib suvaline vahemiku (a, b) punkt. Kui vähemalt üks punktidest c 1 või c 2 ei ole lõigu [a, b] otspunkt, siis selles punktis (valime selle punkti tähistuseks c) on Fermat’ teoreemi põhjal f ′ (c) = 0. Teiseks vaatleme järgnevalt juhtu f(a) = f(b) ≠ 0. Moodustame abifunktsiooni F (x) = f(x) − f(a). Funktsioon F (x) rahuldab lisatingimust F (a) = F (b) = 0. Et ka F (x) ∈ C[a, b] ∩ D(a, b) ∧ F (a) = F (b), siis tõestuse esimese osa põhjal leidub selline punkt c ∈ (a, b), et F ′ (c) = 0. Arvestades tingimust f ′ (x) = F ′ (x), saame f ′ (c) = 0. Arv c ∈ (a, b) on esitatav ka kujul c = a + θ(b − a), kus 0 < θ < 1. □ Lause 2 (Cauchy keskväärtusteoreem). Kui funktsioonid ϕ(x) ja ψ(x) on pidevad lõigul [a, b] ja diferentseeruvad vahemikus (a, b), kusjuures ϕ ′ 2 (x) + ψ ′ 2 (x) ≠ 0 (x ∈ (a, b)) ning ϕ(b) ≠ ϕ(a), siis leidub vahemikus (a, b) selline punkt c, et st ψ(b) − ψ(a) ϕ(b) − ϕ(a) = ψ′ (c) ϕ ′ (c) , ϕ(x), ψ(x) ∈ C[a, b] ∩ D(a, b) ∧ ϕ ′ 2 (x) + ψ ′ 2 (x) ≠ 0 (x ∈ (a, b)) ∧ ϕ(b) ≠ ϕ(a) ⇒ ⇒ ∃c ∈ (a, b) : Tõestus. Moodustame abifunktsiooni Et F (x) ∈ C[a, b] ∩ D(a, b) ja ning ψ(b) − ψ(a) ϕ(b) − ϕ(a) = ψ′ (c) ϕ ′ (c) . F (x) = (ψ(b) − ψ(a)) ϕ(x) − (ϕ(b) − ϕ(a)) ψ(x). F (a) = (ψ(b) − ψ(a)) ϕ(a) − (ϕ(b) − ϕ(a)) ψ(a) = ψ(b)ϕ(a) − ϕ(b)ψ(a) F (b) = (ψ(b) − ψ(a)) ϕ(b) − (ϕ(b) − ϕ(a)) ψ(b) = ψ(b)ϕ(a) − ϕ(b)ψ(a), siis funktsioon F (x) rahuldab Rolle’i teoreemi tingimusi ja seega leidub selline c ∈ (a, b), et F ′ (c) = 0, st F ′ (c) = 0 ⇔ (ψ(b) − ψ(a)) ϕ ′ (c) − (ϕ(b) − ϕ(a)) ψ ′ (c) = 0 ⇔ 89
Page 1 and 2:
TTÜ Matemaatikainstituut http://ww
Page 3 and 4:
Sisukord 0.1 Eessõna . . . . . . .
Page 5 and 6:
0.1. Eessõna Käesoleva õppevahen
Page 7 and 8:
Sümbolit ∀ kasutatakse sõnade
Page 9 and 10:
antud eeskiri y = f(x) omab mõtet.
Page 11 and 12:
graafikuks on 1 6 5 4 3 x
Page 13 and 14:
Näide 8. Funktsiooni y = sign(x),
Page 15 and 16:
ja ning ∀x ∈ X : f 1 (−x) = (
Page 17 and 18:
Võrrandiga F (x, y) = 0 esitatud i
Page 19 and 20:
Kui funktsiooni ϕ korral ei ole va
Page 21 and 22:
ja pikkusühikuga. Järgnevalt on p
Page 23 and 24:
graafiku 1 2 2 4 6 0 1 2 4
Page 25 and 26:
6 6 4 4 2 2 0 1 2 3 4 5 x 0 1 2 3 4
Page 27 and 28:
Analoogselt saadakse funktsiooni y
Page 29 and 30:
⇔ e x = y ± √ y 2 + 1. Et y <
Page 31 and 32:
Definitsioon 3. Ratsionaalfunktsioo
Page 33 and 34:
siis kõneldakse lõpmatust piirvä
Page 35 and 36:
[ ] kasutame kolmnurga võrratust
Page 37 and 38: Et |x n y n − ab| = |(x n y n −
Page 39 and 40: lühidalt 1 = 2 . Seega on määram
Page 41 and 42: Nende summade kaks esimest vastavat
Page 43 and 44: Näide 2. Uurime Heaviside’i funk
Page 45 and 46: Lause 2 (vt [5], lk 89-90). Suurus
Page 47 and 48: Seega lim x→0+ (sin x) /x = 1. Ar
Page 49 and 50: Järelikult funktsiooni x/ (1 − x
Page 51 and 52: lim x→0 Näide 13. Leiame piirvä
Page 53 and 54: Tõestus. Olgu α(x) ja β(x) lõpm
Page 55 and 56: = lim (α(x)/α 1 (x)) x→x 0 lim
Page 57 and 58: Definitsioon 3. Punkti x 0 nimetata
Page 59 and 60: kui lõpmata väikese suuruse ja t
Page 61 and 62: asümptoodid. See funktsioon on mä
Page 63 and 64: Kehtib ”pidevuse aksioomiks” ni
Page 65 and 66: kusjuures x n ∈ D(R) (n ∈ N) .
Page 67 and 68: Et Lause 1.6.8 põhjal on iga mingi
Page 69 and 70: Näidake, et teatud eeldustel peab
Page 71 and 72: Näide 5. Leiame parameetriliselt e
Page 73 and 74: ehk x ln y = y ln cos x. Diferentse
Page 75 and 76: = x α α x = αxα−1 . Seega (x
Page 77 and 78: ja st (arch x) ′ = d arch x = 1 d
Page 79 and 80: ja Püstitame hüpoteesi y ′′ =
Page 81 and 82: Lause 1 (Leibnizi valem). Funktsioo
Page 83 and 84: Suurus ∆y on esitatud kujul (1.14
Page 85 and 86: Valemit (1.14.3) kasutatakse funkts
Page 87: Kui ∆x = x 2 − x ja ∆y = f(x
Page 91 and 92: ning siis eksisteerib ka kusjuures
Page 93 and 94: Näide 2. Näitame, et eksponentfun
Page 95 and 96: millest järeldub, et c 2 = P ′
Page 97 and 98: siis kehtib seos f(x) = n∑ k=0 f
Page 99 and 100: joonega ja M 2n+1 (x) = M 2n (x) 1
Page 101 and 102: Näide 6. Leiame funktsiooni y = ln
Page 103 and 104: kuulub mainitud δ-ümbrusse) funkt
Page 105 and 106: Jääkliikme negatiivsusest järeld
Page 107 and 108: ja (2n + 2)-järku Maclaurini valem
Page 109 and 110: kus ∆y = f(a+∆x)−f(a). Puutuj
Page 111 and 112: ja f ′ (x 0 ) = − b2 x 0 a 2 y
Page 113 and 114: säilitab märki, siis kohal a on l
Page 115 and 116: leiame, et selle Taylori valemi jä
Page 117 and 118: siis Lausest 4 järeldub, et punkt
Page 119 and 120: Selleks on palju võimalusi, kusjuu
Page 121 and 122: Uurime veel teist võimalust iterat
Page 123 and 124: 1.26. Harjutusülesanded Ülesannet
Page 125 and 126: Ülesannetes 59 -94 leida piirvää
Page 127 and 128: Ülesannetes 113 -114 valida arvud
Page 129 and 130: 150. y = arctan th 3 x. V: 3 ( th 2
Page 131 and 132: Ülesannetes 193 -198 tõestage võ
Page 133 and 134: cos x = 1 − x2 cos (θx) + x 4 ,
Page 135 and 136: 2. Ühe muutuja funktsiooni integra
Page 137 and 138: ∫ = 3 ∫ ∫ dx x 6/5 dx − 7 x
Page 139 and 140:
ja et dx = (1/a) d (ax + b) , siis
Page 141 and 142:
2.4. Ositi integreerimine määrama
Page 143 and 144:
Et (arcsin x) ′ = 1/ √ 1 − x
Page 145 and 146:
2.5. Polünoomi teguriteks lahutami
Page 147 and 148:
2.6. Ratsionaalfunktsiooni osamurdu
Page 149 and 150:
millest B = −A = −1/4. Liites t
Page 151 and 152:
Minnes ühisele nimetajale, leiame,
Page 153 and 154:
Näide 1. Leiame määramata integr
Page 155 and 156:
∫ = ∫ t − 2 (t 2 + 4) 2 dt =
Page 157 and 158:
Järgnevalt käsitleme trigonomeetr
Page 159 and 160:
[ = t = tan x ↔ x = arctan t ⇒
Page 161 and 162:
siis ∫ cos x sin x dx (1 − cos
Page 163 and 164:
∫ = ∫ 2dt 10t + t 2 − 1 = √
Page 165 and 166:
= [ t = ch x, dt = sh x dx, sh 2 x
Page 167 and 168:
Et juhul α = 0 on tegemist eelmise
Page 169 and 170:
⎡ = ⎢ ⎣ t = a ch u ⇔ t = a
Page 171 and 172:
III Diferentsiaalbinoomi integreeri
Page 173 and 174:
Rakendustes kasutatakse tihti integ
Page 175 and 176:
ja ∫ b a 1 · dx = b − a. Tões
Page 177 and 178:
Et f(x) = 0 lõigul [a, b] , välja
Page 179 and 180:
Sellise valiku korral kehtib (2.12.
Page 181 and 182:
Tõestus. Et mõlemad integraalid e
Page 183 and 184:
Veenduge, et ka juhul ∆x < 0 keht
Page 185 and 186:
siis F (ϕ (t)) on funktsiooni f (
Page 187 and 188:
Näide 4. Leiame määratud integra
Page 189 and 190:
= ∫ a 0 f(t) dt + ∫ [ a määra
Page 191 and 192:
Leiame sama integraali, kasutades m
Page 193 and 194:
Et { y = ln x y = ln 2 x ja siis La
Page 195 and 196:
Lause 3. Kui joon on antud polaarko
Page 197 and 198:
siis joone Γ pikkus s Γ avaldub k
Page 199 and 200:
Tegu on algebralise funktsiooni int
Page 201 and 202:
Näide 1. Leiame joontega y = e −
Page 203 and 204:
Et ρ ′ (ϕ) cos ϕ − ρ (ϕ) s
Page 205 and 206:
mille pindala avaldub ligikaudu kuj
Page 207 and 208:
Kui see piirväärtus eksisteerib,
Page 209 and 210:
= lim (ln |ln c| − ln |ln a|) + l
Page 211 and 212:
∫ b a f(x)dx = h 2 ( f(a) + f(b))
Page 213 and 214:
kus ja R 2 = m−1 ∑ k=0 R 2 (x 2
Page 215 and 216:
2.22. Harjutusülesanded ∫ √ 3
Page 217 and 218:
∫ x dx 44. √ . V: 1 ( √ ) arc
Page 219 and 220:
79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87.
Page 221 and 222:
116. y = xe −x2 /2 (0 ≤ x < +
Page 223 and 224:
Kreeka tähed Kreeka täht Eesti ke
Page 225:
Kirjandus [1] Berman, G.N. Sbornik
show all

Matemaatiline analüüs I

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?