Matemaatiline analüüs I
Matemaatiline analüüs I
Matemaatiline analüüs I
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Jada piirväärtuse mõiste on erijuht funktsiooni piirväärtuse mõistest (kui valida<br />
x 0 = +∞ ja kasutada lähenemiseks vaid argumendi naturaalarvulisi väärtusi). Lõplike<br />
suuruste a ja x 0 korral kehtib järgnev väide.<br />
Lause 1. Arv a on funktsiooni f(x) piirväärtuseks kohal x 0 parajasti siis, kui<br />
suvalise arvu ε > 0 korral leidub selline arv δ = δ(ε), et<br />
0 < |x − x 0 | < δ ⇒ |f(x) − a| < ε.<br />
Tõestus. Lause tõesus järeldub Definitsioonist 1 ja arvu a ε−ümbruse definitsioonist,<br />
vt Definitsiooni 1.3.2, kusjuures<br />
x ∈ U δ (x 0 )\{x 0 } ⇔ 0 < |x − x 0 | < δ<br />
ja<br />
f(U δ (x 0 )\{x 0 }) ⊂ U ε (a) ⇔ (0 < |x − x 0 | < δ ⇒ |f(x) − a| < ε) . □<br />
Lause 1 väide on lühidalt kirja pandav kujul<br />
lim f(x) = a ⇔ (∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : 0 < |x − x 0 | < δ ⇒ |f(x) − a| < ε) .<br />
x→x 0<br />
Näide 1. Näitame, lähtudes vahetult Lausest 1, et<br />
lim<br />
x→0<br />
4x 3 + 2x<br />
x<br />
= 2. (1.5.1)<br />
Kui kasutada Lause 1 tähistust, siis f (x) = ( 4x 3 + 2x ) /x, x 0 = 0 ja a = 2. Olgu ε<br />
suvaline positiivne arv. Näitame, et leidub selline δ = δ (ε) , mille korral<br />
0 < |x − 0| < δ ⇒<br />
4x 3 + 2x<br />
∣ − 2<br />
x ∣ < ε. (1.5.2)<br />
Et<br />
4x 3 + 2x<br />
∣ x<br />
∣ ∣∣∣<br />
− 2<br />
∣ < ε ⇔ 4x 3 + 2x − 2x<br />
x ∣ < ε ⇐<br />
⇐ 0 < ∣ ∣ 4x<br />
2 ∣ ∣ < ε ⇔ 0 < |x| <<br />
√ ε<br />
2 ,<br />
siis valiku δ = √ ε/2 korral<br />
√ ε<br />
0 < |x − 0| < δ ⇔ 0 < |x − 0| <<br />
2 ⇔ 0 < ∣ ∣ 4x<br />
2 < ε ⇔<br />
∣ ⇔ 0 <<br />
4x 3<br />
∣∣∣ ∣ x ∣ < ε ⇒ 4x 3 + 2x<br />
− 2<br />
x ∣ < ε,<br />
st kehtib väide (1.5.2), millest järeldub Lause 1 põhjal ka väide (1.5.1).<br />
♦<br />
42
Change language