Matemaatiline analüüs I

More documents

Recommendations

Info

Näites 2 esitatud Heaviside’i funktsiooni H(x) korral leiame, et lim H(x) = 0 ∧ x→0− lim H(x) = 1. x→0+ Näide 3. Vaatleme piirväärtust lim x→0 sin 1 x . Skitseerime funktsiooni sin (1/x) graafiku hulgal (−0.1; 0) ∪ (0; 0.1) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.2 0.02 0.04 x 0.06 0.08 0.1 0.4 0.6 0.8 1 Graafikult on näha, et piirprotsessis x → 0 funktsiooni väärtused ei lähene ühelegi suurusele, vaid võnguvad arvude −1 ja +1 vahel. Analoogiliselt Näitega 2 võib rangelt tõestada, valides 0 < ε < 0.5, et antud piirväärtus ei eksisteeri. Näidake! Skitseerime funktsiooni sin (1/x) graafiku ka hulgal (−10; 0) ∪ (0; 10) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 10 8 6 4 2 0 0.2 2 4 x 6 8 10 0.4 0.6 0.8 1 ♦ Näidake, et lim x→∞ sin 1 x = 0. Enamik funktsiooni piirväärtuse omadusi on sarnased jada piirväärtuse omadustega, sest tõene on järgnev väide. 44
Lause 2 (vt [5], lk 89–90). Suurus a (mis võib olla ka +∞ või −∞ või ∞) on funktsiooni f(x) (parempoolne, vasakpoolne) piirväärtus punktis x 0 , mis võib olla ka +∞ või −∞ või ∞, parajasti siis, kui funktsiooni f(x) määramispiirkonnas iga (paremalt, vasakult) punktile x 0 läheneva jada {x n } puhul, kus x n ≠ x 0 (n ∈ N), kehtib seos lim n→∞ f(x n) = a. Sõnastame esiteks mõningad funktsiooni piirväärtuse omadused. Nende omaduste tõestused on sarnased jada piirväärtuse vastavate omaduste tõestustega. Lause 3. Konstantse funktsiooni piirväärtuseks on see konstant, st f(x) = c ⇒ lim f(x) = c. x→x 0 Lause 4. Kui eksisiteerib funktsiooni f(x) piirväärtus punktis x 0 , siis leidub punkti x 0 selline ümbrus U(x 0 ), et funktsioon f(x) on tõkestatud hulgal U(x 0 )\{x 0 }, st ∃ lim x→x 0 f(x) ⇒ ∃U(x 0 ) : f(x) = O(1) (x ∈ U(x 0 )\{x 0 }) . Tõestus. Lähtume funktsiooni piirväärtuse definitsioonist. Olgu lim f(x) = a. x→x 0 Valime ε = 1. Lause 1 põhjal leidub selline suurus δ > 0, mis määrab punkti x 0 korral sellise ümbruse U δ (x 0 ) = {x | |x − x 0 | < δ}, et x ∈ U δ (x 0 )\ {x 0 } ⇒ |f(x) − a| < 1 ⇒ ||f(x)| − |a|| < 1 ⇒ ⇒ |f(x)| < 1 + |a| ⇒ f(x) = O(1) (x ∈ U δ (x 0 )\ {x 0 }) . □ Lause 5. Kui funktsiooni piirväärtus punktis x 0 on nullist erinev, siis leidub punkti x 0 selline ümbrus U(x 0 ), et hulgal U(x 0 )\{x 0 } on funktsiooni f(x) absoluutväärtus suurem kui pool funktsiooni piirväärtuse absoluutväärtusest, st lim x→x 0 f(x) = a ≠ 0 ⇒ ∃U(x 0 ): x ∈ U(x 0 )\{x 0 } ⇒ |f(x)| > |a| 2 . Lause 6. Kui eksisteerivad funktsioonide f(x) ja g(x) piirväärtused punktis x 0 ja leidub punkti x 0 selline ümbrus U(x 0 ), et hulga U(x 0 )\{x 0 } igas punktis kehtib võrratus f(x) ≤ g(x), siis samasugust võrratust rahuldavad ka nende funktsioonide piirväärtused, st lim f(x) = a ∧ lim g(x) = b ∧ (∃U(x 0 ): f(x) ≤ g(x) ( x ∈ U(x 0 )\{x 0 })) ⇒ x→x 0 x→x 0 ⇒ a ≤ b. Lause 7. Kui funktsioonidel f(x) ja g(x) on punktis x 0 sama piirväärtus a ja leidub punkti x 0 selline ümbrus U(x 0 ), et hulga U(x 0 )\{x 0 } igas punktis kehtib võrratuste 45
Page 1 and 2: TTÜ Matemaatikainstituut http://ww
Page 3 and 4: Sisukord 0.1 Eessõna . . . . . . .
Page 5 and 6: 0.1. Eessõna Käesoleva õppevahen
Page 7 and 8: Sümbolit ∀ kasutatakse sõnade
Page 9 and 10: antud eeskiri y = f(x) omab mõtet.
Page 11 and 12: graafikuks on 1 6 5 4 3 x
Page 13 and 14: Näide 8. Funktsiooni y = sign(x),
Page 15 and 16: ja ning ∀x ∈ X : f 1 (−x) = (
Page 17 and 18: Võrrandiga F (x, y) = 0 esitatud i
Page 19 and 20: Kui funktsiooni ϕ korral ei ole va
Page 21 and 22: ja pikkusühikuga. Järgnevalt on p
Page 23 and 24: graafiku 1 2 2 4 6 0 1 2 4
Page 25 and 26: 6 6 4 4 2 2 0 1 2 3 4 5 x 0 1 2 3 4
Page 27 and 28: Analoogselt saadakse funktsiooni y
Page 29 and 30: ⇔ e x = y ± √ y 2 + 1. Et y <
Page 31 and 32: Definitsioon 3. Ratsionaalfunktsioo
Page 33 and 34: siis kõneldakse lõpmatust piirvä
Page 35 and 36: [ ] kasutame kolmnurga võrratust
Page 37 and 38: Et |x n y n − ab| = |(x n y n −
Page 39 and 40: lühidalt 1 = 2 . Seega on määram
Page 41 and 42: Nende summade kaks esimest vastavat
Page 43: Näide 2. Uurime Heaviside’i funk
Page 47 and 48: Seega lim x→0+ (sin x) /x = 1. Ar
Page 49 and 50: Järelikult funktsiooni x/ (1 − x
Page 51 and 52: lim x→0 Näide 13. Leiame piirvä
Page 53 and 54: Tõestus. Olgu α(x) ja β(x) lõpm
Page 55 and 56: = lim (α(x)/α 1 (x)) x→x 0 lim
Page 57 and 58: Definitsioon 3. Punkti x 0 nimetata
Page 59 and 60: kui lõpmata väikese suuruse ja t
Page 61 and 62: asümptoodid. See funktsioon on mä
Page 63 and 64: Kehtib ”pidevuse aksioomiks” ni
Page 65 and 66: kusjuures x n ∈ D(R) (n ∈ N) .
Page 67 and 68: Et Lause 1.6.8 põhjal on iga mingi
Page 69 and 70: Näidake, et teatud eeldustel peab
Page 71 and 72: Näide 5. Leiame parameetriliselt e
Page 73 and 74: ehk x ln y = y ln cos x. Diferentse
Page 75 and 76: = x α α x = αxα−1 . Seega (x
Page 77 and 78: ja st (arch x) ′ = d arch x = 1 d
Page 79 and 80: ja Püstitame hüpoteesi y ′′ =
Page 81 and 82: Lause 1 (Leibnizi valem). Funktsioo
Page 83 and 84: Suurus ∆y on esitatud kujul (1.14
Page 85 and 86: Valemit (1.14.3) kasutatakse funkts
Page 87 and 88: Kui ∆x = x 2 − x ja ∆y = f(x
Page 89 and 90: Tõestame esiteks selle väite lisa
Page 91 and 92: ning siis eksisteerib ka kusjuures
Page 93 and 94: Näide 2. Näitame, et eksponentfun
Page 95 and 96:
millest järeldub, et c 2 = P ′
Page 97 and 98:
siis kehtib seos f(x) = n∑ k=0 f
Page 99 and 100:
joonega ja M 2n+1 (x) = M 2n (x) 1
Page 101 and 102:
Näide 6. Leiame funktsiooni y = ln
Page 103 and 104:
kuulub mainitud δ-ümbrusse) funkt
Page 105 and 106:
Jääkliikme negatiivsusest järeld
Page 107 and 108:
ja (2n + 2)-järku Maclaurini valem
Page 109 and 110:
kus ∆y = f(a+∆x)−f(a). Puutuj
Page 111 and 112:
ja f ′ (x 0 ) = − b2 x 0 a 2 y
Page 113 and 114:
säilitab märki, siis kohal a on l
Page 115 and 116:
leiame, et selle Taylori valemi jä
Page 117 and 118:
siis Lausest 4 järeldub, et punkt
Page 119 and 120:
Selleks on palju võimalusi, kusjuu
Page 121 and 122:
Uurime veel teist võimalust iterat
Page 123 and 124:
1.26. Harjutusülesanded Ülesannet
Page 125 and 126:
Ülesannetes 59 -94 leida piirvää
Page 127 and 128:
Ülesannetes 113 -114 valida arvud
Page 129 and 130:
150. y = arctan th 3 x. V: 3 ( th 2
Page 131 and 132:
Ülesannetes 193 -198 tõestage võ
Page 133 and 134:
cos x = 1 − x2 cos (θx) + x 4 ,
Page 135 and 136:
2. Ühe muutuja funktsiooni integra
Page 137 and 138:
∫ = 3 ∫ ∫ dx x 6/5 dx − 7 x
Page 139 and 140:
ja et dx = (1/a) d (ax + b) , siis
Page 141 and 142:
2.4. Ositi integreerimine määrama
Page 143 and 144:
Et (arcsin x) ′ = 1/ √ 1 − x
Page 145 and 146:
2.5. Polünoomi teguriteks lahutami
Page 147 and 148:
2.6. Ratsionaalfunktsiooni osamurdu
Page 149 and 150:
millest B = −A = −1/4. Liites t
Page 151 and 152:
Minnes ühisele nimetajale, leiame,
Page 153 and 154:
Näide 1. Leiame määramata integr
Page 155 and 156:
∫ = ∫ t − 2 (t 2 + 4) 2 dt =
Page 157 and 158:
Järgnevalt käsitleme trigonomeetr
Page 159 and 160:
[ = t = tan x ↔ x = arctan t ⇒
Page 161 and 162:
siis ∫ cos x sin x dx (1 − cos
Page 163 and 164:
∫ = ∫ 2dt 10t + t 2 − 1 = √
Page 165 and 166:
= [ t = ch x, dt = sh x dx, sh 2 x
Page 167 and 168:
Et juhul α = 0 on tegemist eelmise
Page 169 and 170:
⎡ = ⎢ ⎣ t = a ch u ⇔ t = a
Page 171 and 172:
III Diferentsiaalbinoomi integreeri
Page 173 and 174:
Rakendustes kasutatakse tihti integ
Page 175 and 176:
ja ∫ b a 1 · dx = b − a. Tões
Page 177 and 178:
Et f(x) = 0 lõigul [a, b] , välja
Page 179 and 180:
Sellise valiku korral kehtib (2.12.
Page 181 and 182:
Tõestus. Et mõlemad integraalid e
Page 183 and 184:
Veenduge, et ka juhul ∆x < 0 keht
Page 185 and 186:
siis F (ϕ (t)) on funktsiooni f (
Page 187 and 188:
Näide 4. Leiame määratud integra
Page 189 and 190:
= ∫ a 0 f(t) dt + ∫ [ a määra
Page 191 and 192:
Leiame sama integraali, kasutades m
Page 193 and 194:
Et { y = ln x y = ln 2 x ja siis La
Page 195 and 196:
Lause 3. Kui joon on antud polaarko
Page 197 and 198:
siis joone Γ pikkus s Γ avaldub k
Page 199 and 200:
Tegu on algebralise funktsiooni int
Page 201 and 202:
Näide 1. Leiame joontega y = e −
Page 203 and 204:
Et ρ ′ (ϕ) cos ϕ − ρ (ϕ) s
Page 205 and 206:
mille pindala avaldub ligikaudu kuj
Page 207 and 208:
Kui see piirväärtus eksisteerib,
Page 209 and 210:
= lim (ln |ln c| − ln |ln a|) + l
Page 211 and 212:
∫ b a f(x)dx = h 2 ( f(a) + f(b))
Page 213 and 214:
kus ja R 2 = m−1 ∑ k=0 R 2 (x 2
Page 215 and 216:
2.22. Harjutusülesanded ∫ √ 3
Page 217 and 218:
∫ x dx 44. √ . V: 1 ( √ ) arc
Page 219 and 220:
79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87.
Page 221 and 222:
116. y = xe −x2 /2 (0 ≤ x < +
Page 223 and 224:
Kreeka tähed Kreeka täht Eesti ke
Page 225:
Kirjandus [1] Berman, G.N. Sbornik
show all

Matemaatiline analüüs I

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?