Matemaatiline analüüs I

Definitsioon 10. Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu
oma määramispiirkonnas on mittekahanev (monotoonselt kasvav funktsioon) või mittekasvav
(monotoonselt kahanev funktsioon).
Näidete 4, 5, 8, 9 funktsioonid ja Näite 7 funktsioon [x] on monotoonsed funktsioonid.
Definitsioon 11. Rangelt monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis
kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või kahanev.
Näidetes 4, 5 ja 9 on antud rangelt monotoonsed funktsioonid. Näites 1 esitatud
funktsioon y = x 2 (x ∈ [−1; 1]) ei ole monotoonne, kuid on rangelt kahanev lõigul
[−1; 0] ja rangelt kasvav lõigul [0; 1].
Definitsioon 12. Funktsiooni f nimetatakse ülalt tõkestatud (vastavalt alt tõkestatud)
funktsiooniks hulgal X 1 ⊂ X, kui leidub selline reaalarv M (vastavalt m), et iga x ∈ X 1
korral kehtib võrratus f(x) ≤ M (vastavalt m ≤ f(x)). Funktsiooni f, mis on nii alt
kui ka ülalt tõkestatud hulgal X 1 , nimetatakse tõkestatud funktsiooniks hulgal X 1 .
Kui funktsioon f on tõkestatud hulgal X, siis tähistatakse seda lühidalt
f(x) = O (1) (x ∈ X) .
Kui funktsioon f on ülalt (alt) tõkestatud hulgal X, siis tähistatakse seda lühidalt
f(x) = O R (1) (x ∈ X) (f(x) = O L (1) (x ∈ X)) .
Näidetes 1, 3, 5, 8 esitatud funktsioonid ja Näite 7 funktsioon x − [x] on tõkestatud oma
määramispiirkonnas ning Näidetes 2, 4, 9 funktsioonid ja Näites 7 esitatud funktsioon
[x] on tõkestamata.
Definitsioon 13. Funktsiooni y = f(x) (x ∈ X) pöördfunktsiooniks nimetatakse
funktsiooni x = f −1 (y) , mis igale arvule y ∈ Y = f (X) seab vastavusse arvu x ∈ X,
kusjuures y = f(x), st
y ↦−→ f −1
x ⇔ x ↦−→ f
y.
Kui hulgal X määratud funktsiooni y = f (x) erinevatele argumendi väärtustele x
vastavad funktsiooni erinevad väärtused y, siis pöördfunktsioon x = f −1 (y) on ühene.
Leiame Näites 4 esitatud funktsiooni y = log(1 − x) pöördfunktsiooni:
y = log(1 − x) ⇔ 10 y = 1 − x ⇔ x = 1 − 10 y ⇒ f −1 (y) = 1 − 10 y .
Definitsioon 14. Öeldakse, et funktsioon y = f(x) (x ∈ X) on esitatud võrrandi
F (x, y) = 0 abil ilmutamata kujul, kui
∀x ∈ X : F (x, f(x)) = 0.
Ilmutamata kujul esitatud funktsiooni y = f(x) korral kõneldakse ka võrrandi F (x, y) =
0 lahendina hulgal X defineeritud ilmutamata funktsioonist. Ilmutamata funktsioon võib
olla kas ühene või mitmene. Punktihulka {(x, y) | F (x, y) = 0} nimetatakse võrrandiga
F (x, y) = 0 antud ilmutamata funktsiooni graafikuks.
16