Matemaatiline analüüs I

Jada tähistamiseks kasutame liikmeti esitust {x 1 , x 2 , . . . , x n , . . .} või lühemalt {x n } n∈N
ehk {x n }.
Näide 1. Vaatleme jada {(n − 1)/n}, st
{0; 1/2; 2/3; 3/4; 4/5; . . . ; (n − 1)/n; . . .}.
Suuruse n piiramatul kasvamisel täheldame, et jada liikmed lähenevad arvule 1, st erinevad
kui tahes vähe arvust 1. ♦
Kui me üritame Näites 1 esitatud probleemi matemaatiselt korrektselt esitada, siis
tekib esiteks küsimus, kuidas kirjeldada korrektselt ”suuruse piiramatut kasvamist” ja
”jada liikmete lähenemist mingile arvule.” Teiseks tekib küsimus, kuidas korrektselt
siduda neid kaht mõistet Näites 1 käsitletud probleemi kirjeldamisel.
Definitsioon 2. Kui ε > 0, siis arvu a ε−ümbruseks (epsilon-ümbruseks) nimetatakse
vahemikku (a− ε, a + ε) ja tähistatakse lühidalt U ε (a).
Definitsioon 3. Suuruse +∞ M−ümbruseks nimetatakse vahemikku (M, +∞) ja
tähistatakse U M (+∞).
Definitsioon 4. Suuruse −∞ M−ümbruseks nimetatakse vahemikku (−∞, M) ja
tähistatakse U M (−∞).
Definitsioon 5. Kui M > 0, siis suuruse ∞ M−ümbruseks nimetatakse ühendit
(−∞, −M) ∪ (M, +∞) ja tähistatakse U M (∞).
NB! Sümbolit ∞ kasutatakse tihti ka suuruse +∞ lühendkirjapildina.
Definitsioon 6. Arvu a nimetatakse jada {x n } (lõplikuks) piirväärtuseks, kui suvalise
positiivse arvu ε korral leidub selline naturaalarv n 0 , mis üldjuhul sõltub arvust
ε, st n 0 (ε), et iga naturaalarvu n, mis on suurem kui n 0 , korral on rahuldatud võrratus
|x n − a| < ε.
Asjaolu, et arv a on jada {x n } piirväärtuseks, tähistatakse
või
ehk lühidalt x n → a.
lim x n = a
n→+∞
x n
n→+∞
−→
Definitsioon 7. Kui suvalise M ∈ R korral leidub selline n 0 ∈ N, et iga
n ∈ N ∧ n > n 0 korral x n > M, siis öeldakse, et jada {x n } piirväärtus on +∞ ja
tähistatakse
lim x n = +∞
n→+∞
ehk lühidalt
a
x n → +∞.
Analoogiliselt defineeritakse ka x n → −∞ ja x n → ∞. Kui
x n → +∞ ∨ x n → −∞ ∨ x n → ∞,
32