Matemaatiline analüüs I

ja
ning
lim
x→x 0
g(x) = b ⇒ (∀ε > 0 ∃δ 2 = δ 2 (ε) > 0 : 0 < |x − x 0 | < δ 2 ⇒ |g(x) − b| < ε/2)
|(f(x) + g(x)) − (a + b)| = |(f(x) − a) + (g(x) − b)| ≤ |f(x) − a| + |g(x) − b| ,
siis δ = min (δ 1 , δ 2 ) korral
( (∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : 0 < |x − x0 | < δ) ⇒
⇒ (|(f(x) + g(x)) − (a + b)| < ε/2 + ε/2 = ε)
⇔
lim (f(x) + g(x)) = lim
x→x 0 x→x 0
)
⇔
f(x) + lim
x→x 0
g(x) = a + b. □
Lause 10. Kehtivad valemid (vt [5], lk 105–106)
(
lim 1 + 1 x (
= e, lim 1 +
x→+∞ x) 1 x
= e, lim (1 + x)
x→−∞ x) 1/x = e.
x→0
Skitseerime funktsiooni (1 + x) 1/x graafiku hulgal (−0.5; 0) ∪ (0; 0.5)
3.8
3.6
3.4
3.2
y 3
2.8
2.6
2.4
2.2
­0.4 ­0.2
2
0 0.2 x 0.4
Tihti tuleb avada 0 0 , ∞ ∞ , 0 · ∞, ∞ − ∞ ja 1∞ tüüpi määramatusi. Nende avamiste
tulemused sõltuvad konkreetse ülesande korral uuritava avaldise komponentide nullile
või lõpmatusele lähenemise kiirusest.
Toome mõningad näited piirväärtuse arvutamise kohta.
Näide 5. Uurime piirväärtust
lim
x→1
x
1 − x .
Selle näite korral läheneb murru lugeja ühele ja nimetaja nullile. Kui muutuja x
läheneb ühele vasakult (paremalt), siis murd läheneb pluss (miinus) lõpmatusele, st
lim
x→1−
x
1 − x
1
=
0
+∞ ∧ lim
x→1+
48
x
1 − x
1
=
0
−∞.