Matemaatiline analüüs I

2.6. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahutamine
Olgu Q m (x)/P n (x) ratsionaalfunktsioon, kusjuures Q m (x) on m-astme ja P n (x) on
n-astme polünoom ning m < n, st tegemist on lihtmurruga. Liigmurru, st (m ≥ n) korral
tuleb esiteks eraldada täisosa. Selleks tuleb polünoomi Q m (x) jagada polünoomiga
P n (x) . Saame
Q m (x)
P n (x)
m ≥ n
= R m−n (x) + S k(x)
P n (x) ,
kusjuures S k (x) (k < n) on polünoomide jagamisel tekkiv jääk ja S k (x)/P n (x) on lihtmurd.
Näide 1. Eraldame liigmurru
täisosa. Kasutame skeemi
Tulemuseks saame
6x 5 − 9x 4 − 11x 3 + 12x 2 + 10x − 5
3x 3 + 2x − 3
6x 5 − 9x 4 − 11x 3 + 12x 2 + 10x − 5 3x 3 + 2x − 3
−
6x 5 +4x 3 − 6x 2 2x 2 − 3x − 5
−9x 4 − 15x 3 + 18x 2 + 10x − 5
−
−9x
4
−6x 2 + 9x
−15x 3 + 24x 2 +x − 5
−
−15x
3
−10x + 15
6x 5 − 9x 4 − 11x 3 + 12x 2 + 10x − 5
3x 3 + 2x − 3
24x 2 + 11x − 20
Lause1. Kui Q m (x)/P n (x) on lihtmurd ja polünoomil
= 2x 2 − 3x − 5 + 24x2 + 11x − 20
3x 3 + 2x − 3 . ♦
P n (x) = a 0 x n + a 1 x n−1 + . . . + a n−1 x 1 + a n
on nullkohad x 1 , x 2 , . . . , x r kordsustega k 1 , k 2 , . . . , k r (k 1 + k 2 + . . . + k r = n) , st polünoom
P n (x) on esitatav kujul
P n (x) = a 0 (x − x 1 ) k1 (x − x 2 ) k2 · · · (x − x r ) kr ,
siis Q m (x)/P n (x) on ühesel viisil lahutatav osamurdudeks
Q m (x)
P n (x) = a 1;1 a 1;2
+
x − x 1 (x − x 1 ) 2 + . . . + a 1;k1
(x − x 1 ) + k1
+ a 2;1 a 2;2
+
x − x 2 (x − x 2 ) 2 + . . . + a 2;k2
(x − x 2 ) + . . . +
k2
147