Numerické a geometrické modelování - Západočeská univerzita v ...

2.3.4 Změna měřítka neboli dilataceZměna měřítka na souřadnicových osách je určena nenulovými násobky s x , s y , s z původníchjednotek:⎛⎞s x 0 0 0(x ′ , y ′ , z ′ , w ′ ) = (x, y, z, w) ⎜ 0 s y 0 0⎟⎝ 0 0 s z 0 ⎠ .0 0 0 1Změna měřítka se v počítačové geometrii používá např. pro normalizaci souřadnic objektů.Souřadnice se transformují tak, aby byly v intervalu 〈0, 1〉. Objekt se transformací umístí dojednotkové krychle.2.4 Samodružné body a samodružné směry transformacíUvažujme obecnou projektivní transformaci⎛(x ′ , y ′ , z ′ , w ′ ) = (x, y, z, w) ⎜⎝⎞a 11 a 12 a 13 a 14a 21 a 22 a 23 a 14a 31 a 32 a 33 a 34a 41 a 42 a 43 a 44Stručně píšeme X ′ = X.A a předpokládejme, že matice A je regulární.Pokud máme určit samodružné body daného zobrazení, pak vlastně hledáme reálná číslak ≠ 0 a nenulové vektory X tak, aby k X = X.A. Což můžeme však psát jakoX(A − k I) = o T .Jedná se o homogenní soustavu lineárních algebraických rovnic a hledáme její netriviálnířešení. Aby takové řešení existovalo, musí být splněna podmínkadet(A − k I) = 0.Můžeme tedy konstatovat, že určení samodružných bodů projektivního zobrazení vede navýpočet vlastních čísel matice transformace a na určení vlastních vektorů.Příklad 2.3 Určete samodružné body a směry transformace v E 2 dané v kartézských souřadnicíchvztahyx ′ = x + y, y ′ = y.Řešení: Doporučujeme, abyste si načrtli obrázek, který vysvětlí, jak daná transformace funguje.Sestavíme maticové vyjádření transformace v homogenních souřadnicích⎛1 0⎞0(x ′ , y ′ , w ′ ) = (x, y, w) ⎝ 1 1 0 ⎠ .0 0 1⎟⎠ .14