Numerické a geometrické modelování - Západočeská univerzita v ...

Důkaz: a) Nechť s je oblouk křivky. Pak| dPds (s 0)| = | dPdt (t(s 0))|| dtds (s 0)| = |s ′ 1(t(s 0 ))||s ′ (t(s 0 )) | = 1b) Nechť je splněno tvrzení věty. Pro danou křivku stanovíme∫ s √∫ s∫ ss ⋆ = P ′ (s).P ′ (s)ds = |P ′ (s)|ds = 1ds = s − s 0s 0 s 0 s 0Tedy s ⋆ je obloukem.Derivaci podle oblouku označujeme tečkou nad označením vektorové funkce.Definice 3.6 Vektor ¨P (s 0 ) nazýváme vektorem první křivosti. První křivostí rozumíme číslo1 k(s 0 ) = | ¨P (s 0 )|Věta 3.5 V neinflexním bodě křivky je vektor první křivosti nenulový a je ortogonální k tečnémuvektoru. První křivost je nulová právě v inflexních bodech.Důkaz: Vyjdeme ze vztahuDerivováním získámeṖ (s 0 ).Ṗ (s 0) = 1Ṗ (s 0 ). ¨P (s 0 ) + ¨P (s 0 ).Ṗ (s 0) = 0,tj. Ṗ (s 0 ). ¨P (s 0 ) = 0. Z toho již snadno plyne tvrzení.Označíme t, n a b jednotkové vektory tečny, hlavní normály a binormály:t(s 0 ) = Ṗ (s 0), n(s 0 ) = ¨P (s 0 )| ¨P (s 0 )| , b(s 0) = t(s 0 ) × n(s 0 )Tuto trojici vektorů (v daném pořadí) nazýváme průvodním (též Frenetovým) trojhranem.Věta 3.6 (Věta o ortonormálním repéru) Nechť jsou dány vektorové funkcem 1 (t), m 2 (t), m 3 (t), t ∈ Itakové, že pro každé t jsou to jednotkové a na sebe kolmé vektory. Pak existují reálné funkcea 12 (t), a 13 (t), a 23 (t), t ∈ Itak, žem ′ 1(t) = a 12 (t)m 2 (t) + a 13 (t)m 3 (t)m ′ 2(t) = −a 12 (t)m 1 (t) + a 23 (t)m 3 (t)m ′ 3(t) = −a 13 (t)m 1 (t) − a 23 (t)m 2 (t)24