Numerické a geometrické modelování - Západočeská univerzita v ...

• pro k = 1• pro k > 1N ik (t) ={ 1 pro ti ≤ t < tN i1 (t) =i+10 jindet − t iN i,k−1 (t) +t i+k − tN i+1,k−1 (t) (6.7)t i+k−1 − t i t i+k − t i+1Je nutné vzít v úvahu, že v tomto výrazu mohou vzniknout výrazy typu a , které definitoricky0položíme rovny nule.B-spline baze je tedy charakterizována:• řádem k polynomů (polynomy jsou stupně k − 1)• vektorem parametrizace, tj.– číslem m – počet složek vektoru parametrizace,– složkami t 1 ≤ t 2 ≤ . . . ≤ t m• číslem j – počet funkcí tvořících bazi.Mezi uvedenými charakteristikami musí být, jak plyne ze vztahu (6.7), jistá vazba: Ke stanovenífunkce N in musí být v parametrickém vektoru k dispozici až složka t i+n . Jelikož hodnotai pro n = k nabývá maximální hodnoty j, musí platit m ≥ k + j. Stačí však volit m = k + j, tj.počet složek parametrického vektoru je roven součtu řádu B-spline baze a počtu funkcí baze.Ukážeme nyní, že Bernsteinovy polynomy jsou speciální B-spline bazí. Pro Bernsteinovypolynomy řádu n platí: j = n a k = n. Proto pro počet m složek parametrického vektoru platím = 2n. Pro Bernsteinův polynom platí t ∈< 0, 1 >, proto volímet 1 = t 2 = . . . = t n = 0 a t n+1 = t n+2 = . . . = t 2n = 1Matematickou indukcí podle stupně polynomu provedeme pro takto sestavený parametrickývektor důkaz, že B-spline baze splyne se systémem Bernsteinových polynomů:1. Nechť k = 2, pak parametrický vektor T = (0, 0, 1, 1) aN 12 (t) = t N 11(t)0+ (1 − t)N 21(t)1 − 0= (1 − t)N 21 (t),tj. na intervalu < 0, 1 > je N 12 (t) = (1 − t) = B 2 1(t). Podobně zjistíme, že N 12 (t) = t =B 2 2(t).2. Nechť nyní tvrzení platí pro k = n 0 , tj. mámeN i,n0 +1(t) = (t − t i)B n 0i (t)+ (t i+n 0 +1 − t)B n 0,t i+n0 − t i t i+n0 +1 − t i+1Jelikož pro i ≤ n 0 je t i = t i+1 = 0 a t i+n0 = t i+n0 +1 = 1, platía tvrzení je dokázáno.i+1 (t)N i,n0 +1(t) = tB n 0i (t) + (1 − t)B n 0i+1 (t) = Bn 0+1i (t)44