Numerické a geometrické modelování - Západočeská univerzita v ...

a) Je dáno P ′ 0 a P ′ n, tj. je dán tečný vektor v počátečním a koncovém bodě křivky. Pak másoustava 4.4 již jediné řešení.b) Jsou dány vektory A a B druhých derivací v počátečním a koncovém bodě křivky. V tomtopřípadě z 4.1 a 4.2 doplníme soustavu 4.4 o rovnice2P ′ 0 + P ′ 1 = 30k (P 1 − P 0 ) −P ′ n−1 + 2P ′ n =0 k23n−1k (P n − P n−1 ) +A, (4.5)n−1 k2 B.Speciálně pro A = B = o dostáváme tzv. kubický přirozený spline.c) Podmínka uzavřenosti křivky vede k doplnění soustavy 4.4 a další dvě rovnice, které získámepoužitím formule 4.4 pro i = n − 1 a i = n s tím, že od indexů větších než n odečtemen + 1.Řešení soustavy n rovnic o n neznámých vektorech provádíme s výhodou Gaussovou eliminací.Matice soustavy je pro všechny složky vektorů stejná, proto lze provést přímý chodGaussovy eliminace najednou pro různé pravé strany. Matice soustavy je diagonálně dominantnía pro případ a) a b) je navíc tato matice třídiagonální.Příklad 4.2 Určíme prostorovou kubickou spline křivku pro body (0,0,0), (1,0,0), (1,1,1) a(0,0,1). Uvažujeme uniformní parametrizaci a bude se jednat o přirozenou spline křivku.Řešení: Ze vztahů 4.4 a 4.5 vzhledem k tomu, že A = B = o a i k = 1, plyne2P ′ 0 +P ′ 1 = 3(P 1 − P 0 )P ′ 0 +4P ′ 1 +P ′ 2 = 3(P 2 − P 0 )P ′ 1 +4P ′ 2 +P ′ 3 = 3(P 3 − P 1 )P ′ 2 +2P ′ 3 = 3(P 3 − P 2 )a rozšířenou matici můžeme pro Gaussovu eliminaci zapsat ve tvaru⎡⎤2 1 0 0 : 3 0 0⎢ 1 4 1 0 : 3 3 3⎥⎣ 0 1 4 1 : −3 0 3 ⎦ .0 0 1 2 : −3 −3 0Řešením soustavy jsou tečné vektory v opěrných bodech křivky. Jednotlivé oblouky pak lzeurčit jako Fergusonovy kubiky.□Na obr. 4.2 je znázorněna přirozená prostorová spline křivka třetího stupně pro uniformníparametrizaci.Na obr. 4.3 je znázorněna přirozená prostorová spline křivka třetího stupně pro neuniformníparametrizaci (byla zvolena výrazně nevhodná parametrizace). Na obr. 4.4 je znázorněna splinekřivka pro stejné zadání bodů a okrajových podmínek, ovšem použita je chordálové parametrizace.32