Numerické a geometrické modelování - Západočeská univerzita v ...

Pro uniformní parametrizaci t i = 0, t i+1 = 1, tj. i k = 1 získáme ze vztahů 4.2 funkce F i ,které hrají důležitou roli v dalším výkladu:F 0 (t) = 2t 3 − 3t 2 + 1,F 1 (t) = −2t 3 + 3t 2 , (4.3)F 2 (t) = t 3 − 2t 2 + t,F 3 (t) = t 3 − t 2 .Na obr. 4.1 jsou uvedeny grafy těchto funkcí.Obrázek 4.1:Tyto křivky použil prvně v počítačové grafice J.C.Ferguson pro konstruování křivek v leteckémprůmyslu. Je třeba zdůraznit, že pro tvar Fergusonovy kubiky má značný význam délkatečných vektorů.Příklad 4.1 Určíme, kdy Fergusonova kubika degeneruje na křivku nižšího stupně (konkrétněna parabolu). Pro jednoduchost uvažujme, že jsou dány vektory P 0 = [−1, 0], P 1 = [1, 0],P ′ 0 = [a, a] a P ′ 1 = [a, −a], kde a je kladná konstanta (načrtněte si obrázek!). Uvažujmeuniformní parametrizaci t 0 = 0 a t 1 = 1.Řešení: Vyjdeme z rovnic 4.1 a 4.3. Máme určit a tak (je-li to možné), aby koeficienty u členut 3 v jednotlivých parametrických rovnicích byly nulové. Tak získáme vektorovou rovnici2P 0 − 2P 1 + P ′ 0 + P ′ 1 = o.Pro druhou složku zjevně dostáváme identitu, ale pro první složku platí−4 + 2a = 0,tj. a = 2. Vzhledem k rovnicím 4.1 a 4.3 má získaná křivka toto vyjádření:P (t) = F 0 (t)[−1, 0] + F 1 (t)[1, 0] + F 2 (t)[2, 2] + F 3 (t)[2, −2],30