Numerické a geometrické modelování - Západočeská univerzita v ...

Kapitola 3Popis křivek a ploch pro geometrickémodelování3.1 Rovnice křivek a plochK popisu křivek a ploch se v diferenciální geometrii používá vektorových funkcí.Definice 3.1 Množinu k ⊂ E 3 nazveme křivkou třídy C n , jestliže existuje aspoň jedna vektorováfunkce P (t) třídy C n s definičním oborem I (otevřený interval) a platí:1. P ′ (t) ≠ o pro každé t ∈ I,2. P (t) je prosté zobrazení intervalu I na množinu k.Definice křivky může být modifikována:• místo zobrazení prostého se požaduje zobrazení homeomorfní, tj. spojité a prosté zobrazení,pro nějž je spojité i inverzní zobrazení a nepožaduje se nenulový vektor prvníderivace — elementární křivka• prostá křivka je souvislá a je “lokálně” elementární křivkou (platí, že křivka je prostoukřivkou, je-li homeomorfním obrazem otevřeného intervalu nebo kružnice)• obecnou křivkou rozumíme lokálně homeomorfní obraz otevřeného intervalu nebo kružnice— zobrazení je lokálně homeomorní, jestliže restrikce zobrazení na okolí libovolného boduje homeomorfismem.Definice 3.2 Množinu κ ⊂ E 3 nazveme plochou třídy C n , jestliže existuje aspoň jedna vektorováfunkce P (u, v) třídy C n s definičním oborem (oblastí) Ω ⊂ R 2 a platí:1.∂P (u,v)∂u= P u a∂P (u,v)∂v= P v jsou pro každé (u, v) ∈ Ω lineárně nezávislé2. P (u, v) je homeomorfismem oblasti Ω na množinu k.18